Lượng giác Ví dụ

$f (x) = 2^{x + 3} - 1$

Bước 1

Viết $f (x) = 2^{x + 3} - 1$ ở dạng một phương trình.

$y = 2^{x + 3} - 1$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 2^{y + 3} - 1$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2^{y + 3} - 1 = x$ .

$2^{y + 3} - 1 = x$

Bước 3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2^{y + 3} = x + 1$

Bước 3.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (2^{y + 3}) = \ln (x + 1)$

Bước 3.4

Khai triển $\ln (2^{y + 3})$ bằng cách di chuyển $y + 3$ ra bên ngoài lôgarit.

$(y + 3) \ln (2) = \ln (x + 1)$

Bước 3.5

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y \ln (2) + 3 \ln (2) = \ln (x + 1)$

Bước 3.6

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$y \ln (2) + 3 \ln (2) - \ln (x + 1) = 0$

Bước 3.7

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Trừ $3 \ln (2)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y \ln (2) - \ln (x + 1) = - 3 \ln (2)$

Bước 3.7.2

Cộng $\ln (x + 1)$ cho cả hai vế của phương trình.

$y \ln (2) = - 3 \ln (2) + \ln (x + 1)$

Bước 3.8

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (2) = - 3 \ln (2) + \ln (x + 1)$ cho $\ln (2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (2) = - 3 \ln (2) + \ln (x + 1)$ cho $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 3 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$

Bước 3.8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 3 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$

Bước 3.8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- 3 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$

Bước 3.8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{- 3 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$

Bước 3.8.3.1.2

Chia $- 3$ cho $1$ .

$y = - 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = - 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = - 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$ có là hàm ngược của $f (x) = 2^{x + 3} - 1$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (2^{x + 3} - 1)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2^{x + 3} - 1) = - 3 + \frac{\ln ((2^{x + 3} - 1) + 1)}{\ln (2)}$

Bước 5.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 3 + \frac{\ln ((2^{x + 3} - 1) + 1)}{\ln (2)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (2^{x + 3} - 1) = - 3 + \frac{\ln (2^{x + 3} + 0)}{\ln (2)}$

Bước 5.2.3.2

Cộng $2^{x + 3}$ và $0$ .

$f^{- 1} (2^{x + 3} - 1) = - 3 + \frac{\ln (2^{x + 3})}{\ln (2)}$

Bước 5.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Khai triển $\ln (2^{x + 3})$ bằng cách di chuyển $x + 3$ ra bên ngoài lôgarit.

$f^{- 1} (2^{x + 3} - 1) = - 3 + \frac{(x + 3) \ln (2)}{\ln (2)}$

Bước 5.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (2^{x + 3} - 1) = - 3 + \frac{(x + 3) \ln (2)}{\ln (2)}$

Bước 5.2.4.2.2

Chia $x + 3$ cho $1$ .

$f^{- 1} (2^{x + 3} - 1) = - 3 + x + 3$

Bước 5.2.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 3 + x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Cộng $- 3$ và $3$ .

$f^{- 1} (2^{x + 3} - 1) = x + 0$

Bước 5.2.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (2^{x + 3} - 1) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) = 2^{(- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) + 3} - 1$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2^{(- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) + 3} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Cộng $- 3$ và $3$ .

$f (- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}} - 1$

Bước 5.3.3.2

Cộng $0$ và $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$ .

$f (- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}} - 1$

Bước 5.3.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Sử dụng quy tắc đổi cơ số $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x + 1)} - 1$

Bước 5.3.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) = x + 1 - 1$

Bước 5.3.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) = x + 0$

Bước 5.3.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (- 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = - 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$ là hàm ngược của $f (x) = 2^{x + 3} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = - 3 + \frac{\ln (x + 1)}{\ln (2)}$