Lượng giác Ví dụ

$f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 1

Viết $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ ở dạng một phương trình.

$y = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$t = 40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55 = t$ .

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55 = t$

Bước 3.2

Trừ $55$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$ cho $40$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$ cho $40$ .

$\frac{40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})}{40} = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $40$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})}{40} = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})$ cho $1$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 55$ và $40$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 55$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 (- 11)}{40}$

Bước 3.3.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $40$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 \cdot - 11}{5 \cdot 8}$

Bước 3.3.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 \cdot - 11}{5 \cdot 8}$

Bước 3.3.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{- 11}{8}$

Bước 3.3.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} - \frac{11}{8}$

Bước 3.4

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm sin.

$\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$

Bước 3.5

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Kết hợp $\frac{5 π}{4}$ và $y$ .

$\frac{5 π y}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$

Bước 3.6

Cộng $\frac{π}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{5 π y}{4} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2}$

Bước 3.7

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{4}{5 π}$ .

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Bước 3.8

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1.1

Rút gọn $\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Bước 3.8.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Bước 3.8.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1.1.2.1

Đưa $5 π$ ra ngoài $5 π y$ .

$\frac{1}{5 π} (5 π (y)) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Bước 3.8.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Bước 3.8.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Bước 3.8.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1

Rút gọn $\frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{4}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{4}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Bước 3.8.2.1.2

Kết hợp $\frac{4}{5 π}$ và $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{4}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Bước 3.8.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2 (2)}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Bước 3.8.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

Bước 3.8.2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5 π} π$

Bước 3.8.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1.4.1

Đưa $π$ ra ngoài $5 π$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Bước 3.8.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Bước 3.8.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Bước 3.9

Cộng $\frac{π}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{5 π y}{4} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2}$

Bước 3.10

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{4}{5 π}$ .

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Bước 3.11

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1.1

Rút gọn $\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Bước 3.11.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Bước 3.11.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1.1.2.1

Đưa $5 π$ ra ngoài $5 π y$ .

$\frac{1}{5 π} (5 π (y)) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Bước 3.11.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Bước 3.11.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

Bước 3.11.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.1

Rút gọn $\frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.1.1

Để viết $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Bước 3.11.2.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.1.2.1

Kết hợp $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{4}{5 π} (\frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Bước 3.11.2.1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{4}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Bước 3.11.2.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.1.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{2 (2)}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Bước 3.11.2.1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{2 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

Bước 3.11.2.1.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{2}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π)$

Bước 3.11.2.1.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + π)$

Bước 3.11.2.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})) + \frac{2}{5 π} π$

Bước 3.11.2.1.5

Nhân $\frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.1.5.1

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{5 π}$ .

$y = \frac{2 \cdot 2}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{2}{5 π} π$

Bước 3.11.2.1.5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{4}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{2}{5 π} π$

Bước 3.11.2.1.5.3

Kết hợp $\frac{4}{5 π}$ và $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5 π} π$

Bước 3.11.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.1.6.1

Đưa $π$ ra ngoài $5 π$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Bước 3.11.2.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

Bước 3.11.2.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Bước 3.11.2.1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.1.7.1

Để viết $- \frac{11}{8}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8} \cdot \frac{5}{5})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Bước 3.11.2.1.7.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $40$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.1.7.2.1

Nhân $\frac{11}{8}$ với $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11 \cdot 5}{8 \cdot 5})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Bước 3.11.2.1.7.2.2

Nhân $8$ với $5$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11 \cdot 5}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Bước 3.11.2.1.7.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 11 \cdot 5}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Bước 3.11.2.1.7.4

Nhân $- 11$ với $5$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

Bước 3.11.2.1.8

Để viết $\frac{2}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{π}{π}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2}{5} \cdot \frac{π}{π}$

Bước 3.11.2.1.9

Nhân $\frac{2}{5}$ với $\frac{π}{π}$ .

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2 π}{5 π}$

Bước 3.11.2.1.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 2 π}{5 π}$

Bước 3.11.2.1.11

Đưa $2$ ra ngoài $4 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 2 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.1.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 π}{5 π}$

Bước 3.11.2.1.11.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 (π)}{5 π}$

Bước 3.11.2.1.11.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 (π)$ .

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (t)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$ có là hàm ngược của $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (t)) = t$ và $f (f^{- 1} (t)) = t$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (t))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (t))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{(40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $(40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) - 55$ và $40$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $5$ ra ngoài $40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 55 - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Bước 5.2.3.2

Đưa $5$ ra ngoài $55$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 5 (11) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Bước 5.2.3.3

Đưa $5$ ra ngoài $5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 5 (11)$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

Bước 5.2.3.4

Đưa $5$ ra ngoài $- 55$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) + 5 (- 11)}{40}) + π)}{5 π}$

Bước 5.2.3.5

Đưa $5$ ra ngoài $5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) + 5 (- 11)$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{40}) + π)}{5 π}$

Bước 5.2.3.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.6.1

Đưa $5$ ra ngoài $40$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{5 (8)}) + π)}{5 π}$

Bước 5.2.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{5 \cdot 8}) + π)}{5 π}$

Bước 5.2.3.6.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11}{8}) + π)}{5 π}$

Bước 5.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Kết hợp $\frac{5 π}{4}$ và $t$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2}) + 11 - 11}{8}) + π)}{5 π}$

Bước 5.2.4.2

Trừ $11$ khỏi $11$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2}) + 0}{8}) + π)}{5 π}$

Bước 5.2.4.3

Cộng $8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})$ và $0$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})}{8}) + π)}{5 π}$

Bước 5.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})}{8}) + π)}{5 π}$

Bước 5.2.5.2

Chia $\sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})$ cho $1$ .

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})) + π)}{5 π}$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (t))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (t))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} \cdot (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $5 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π} - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{4} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2 (2)} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π) - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (\frac{t - 55}{40}))) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.1.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $π$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.1.6

Để viết $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.1.7

Kết hợp $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot 2}{2} + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.1.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot 2 + π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π - π}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π - π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Trừ $π$ khỏi $π$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 0}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.3.2

Cộng $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ và $0$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{2}) + 55$

Bước 5.3.3.4.2

Chia $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ cho $1$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 55$

Bước 5.3.3.5

Hàm sin và arcsin là nghịch đảo.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 (\frac{t - 55}{40}) + 55$

Bước 5.3.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $40$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 (\frac{t - 55}{40}) + 55$

Bước 5.3.3.6.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t - 55 + 55$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $t - 55 + 55$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Cộng $- 55$ và $55$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $t$ và $0$ .

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (t)) = t$ và $f (f^{- 1} (t)) = t$ , nên $f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$ là hàm ngược của $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ .

$f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$