Lượng giác Ví dụ

$f (t) = 3 e^{0.1 t}$

Bước 1

Viết $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ ở dạng một phương trình.

$y = 3 e^{0.1 t}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$t = 3 e^{0.1 y}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 e^{0.1 y} = t$ .

$3 e^{0.1 y} = t$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $3 e^{0.1 y} = t$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 e^{0.1 y} = t$ cho $3$ .

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $e^{0.1 y}$ cho $1$ .

$e^{0.1 y} = \frac{t}{3}$

Bước 3.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{0.1 y}) = \ln (\frac{t}{3})$

Bước 3.4

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Khai triển $\ln (e^{0.1 y})$ bằng cách di chuyển $0.1 y$ ra bên ngoài lôgarit.

$0.1 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{3})$

Bước 3.4.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$0.1 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{3})$

Bước 3.4.3

Nhân $0.1$ với $1$ .

$0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$

Bước 3.5

Chia mỗi số hạng trong $0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ cho $0.1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Chia mỗi số hạng trong $0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ cho $0.1$ .

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $0.1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Bước 3.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Bước 3.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

Bước 3.5.3.2

Đưa $0.1$ ra ngoài $0.1$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1 (1)}$

Bước 3.5.3.3

Tách các phân số.

$y = \frac{1}{0.1} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

Bước 3.5.3.4

Chia $1$ cho $0.1$ .

$y = 10 \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

Bước 3.5.3.5

Chia $\ln (\frac{t}{3})$ cho $1$ .

$y = 10 \ln (\frac{t}{3})$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ có là hàm ngược của $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (t)) = t$ và $f (f^{- 1} (t)) = t$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (t))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (t))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (3 e^{0.1 t})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

Bước 5.2.3.2

Chia $e^{0.1 t}$ cho $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (e^{0.1 t})$

Bước 5.2.4

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $0.1 t$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \ln (e))$

Bước 5.2.5

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \cdot 1)$

Bước 5.2.6

Nhân $0.1$ với $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t)$

Bước 5.2.7

Nhân $10 (0.1 t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Nhân $0.1$ với $10$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 1 t$

Bước 5.2.7.2

Nhân $t$ với $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = t$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (t))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (t))$

Bước 5.3.2

Tính $f (10 \ln (\frac{t}{3}))$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 (10 \ln (\frac{t}{3}))}$

Bước 5.3.3

Rút gọn $10 \ln (\frac{t}{3})$ bằng cách di chuyển $10$ trong logarit.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})}$

Bước 5.3.4

Rút gọn $0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})$ bằng cách di chuyển $0.1$ trong logarit.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{\ln ({({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1})}$

Bước 5.3.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$

Bước 5.3.6

Nhân các số mũ trong ${({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {(\frac{t}{3})}^{10 \cdot 0.1}$

Bước 5.3.6.2

Nhân $10$ với $0.1$ .

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

Bước 5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

Bước 5.3.7.2

Viết lại biểu thức.

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = t$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (t)) = t$ và $f (f^{- 1} (t)) = t$ , nên $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ là hàm ngược của $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ .

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$