Lượng giác Ví dụ

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}))$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$ .

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$

Bước 2.2

Lấy nghịch đảo cotang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})$ từ trong hàm cotang.

$\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}) = arccot (x)$

Bước 2.3

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$\sqrt{\frac{2}{y}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Rút gọn $\sqrt{\frac{2}{y}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Viết lại $\sqrt{\frac{2}{y}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ với $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ với $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.3.2

Nâng $\sqrt{y}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.3.3

Nâng $\sqrt{y}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.3.6

Viết lại ${\sqrt{y}}^{2}$ ở dạng $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{1}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.3.6.5

Rút gọn.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.4

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(x, 1)$ , $(x, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $arccot (x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(x, 1)$ . Do đó, $\tan (arccot (x))$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \frac{1}{x}$

Bước 2.6

Nhân chéo.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân chéo bằng cách đặt tích của tử số ở vế phải và mẫu số ở vế trái bằng với tích của tử số ở vế trái và mẫu số ở vế phải.

$1 \cdot (y) = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

Bước 2.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Nhân $y$ với $1$ .

$y = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

Bước 2.6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.3.1

Nhân $\sqrt{2 y}$ với $x$ .

$y = \sqrt{2 y} x$

Bước 2.7

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt{2 y} x = y$ .

$\sqrt{2 y} x = y$

Bước 2.8

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${(\sqrt{2 y} x)}^{2} = y^{2}$

Bước 2.9

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 y}$ ở dạng ${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

Bước 2.9.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1

Rút gọn ${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 y$ .

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

Bước 2.9.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x$ .

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Bước 2.9.2.1.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Bước 2.9.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Bước 2.9.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Bước 2.9.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$2^{1} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Bước 2.9.2.1.4

Tính số mũ.

$2 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

Bước 2.9.2.1.5

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

Bước 2.9.2.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

Bước 2.9.2.1.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$2 y^{1} x^{2} = y^{2}$

Bước 2.9.2.1.6

Rút gọn.

$2 y x^{2} = y^{2}$

Bước 2.10

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Trừ $y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y x^{2} - y^{2} = 0$

Bước 2.10.2

Đưa $y$ ra ngoài $2 y x^{2} - y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 y x^{2}$ .

$y (2 x^{2}) - y^{2} = 0$

Bước 2.10.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y^{2}$ .

$y (2 x^{2}) + y (- y) = 0$

Bước 2.10.2.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (2 x^{2}) + y (- y)$ .

$y (2 x^{2} - y) = 0$

Bước 2.10.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$y = 0$

$2 x^{2} - y = 0$

Bước 2.10.4

Đặt $y$ bằng với $0$ .

$y = 0$

Bước 2.10.5

Đặt $2 x^{2} - y$ bằng $0$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.5.1

Đặt $2 x^{2} - y$ bằng với $0$ .

$2 x^{2} - y = 0$

Bước 2.10.5.2

Giải $2 x^{2} - y = 0$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.5.2.1

Trừ $2 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- y = - 2 x^{2}$

Bước 2.10.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- y = - 2 x^{2}$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- y = - 2 x^{2}$ cho $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Bước 2.10.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.5.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y}{1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Bước 2.10.5.2.2.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

Bước 2.10.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.5.2.2.3.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{- 2 x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (- 2 x^{2})$

Bước 2.10.5.2.2.3.2

Viết lại $- 1 \cdot (- 2 x^{2})$ ở dạng $- (- 2 x^{2})$ .

$y = - (- 2 x^{2})$

Bước 2.10.5.2.2.3.3

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$y = 2 x^{2}$

Bước 2.10.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $y (2 x^{2} - y) = 0$ đúng.

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ và $f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ rồi so sánh.

Bước 4.2

Tìm tập xác định của $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

$(- \infty, \infty)$

Bước 4.3

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ không bằng khoảng biến thiên của $f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ , nên $f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ không phải là hàm ngược của $f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ .

Không có hàm ngược

Bước 5