Lượng giác Ví dụ

$\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}))$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$ .

$\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$

Bước 2.2

Lấy nghịch đảo cotang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})$ từ trong hàm cotang.

$\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}) = arccot (x)$

Bước 2.3

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$\frac{y}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Rút gọn $\frac{y}{\sqrt{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Nhân $\frac{y}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.2.1

Nhân $\frac{y}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.2.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.2.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.2.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{1}} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.4.1.2.6.5

Tính số mũ.

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \tan (arccot (x))$

Bước 2.5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(x, 1)$ , $(x, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $arccot (x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(x, 1)$ . Do đó, $\tan (arccot (x))$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{1}{x}$

Bước 2.6

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{3}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1

Rút gọn $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (y \sqrt{3}) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1.2.1

Đưa $\sqrt{3}$ ra ngoài $y \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Rút gọn $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1.1

Nhân $\frac{3}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \frac{1}{x}$

Bước 2.7.2.1.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1.2.1

Nhân $\frac{3}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7.2.1.2.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7.2.1.2.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7.2.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7.2.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7.2.1.2.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7.2.1.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7.2.1.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7.2.1.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7.2.1.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7.2.1.2.6.5

Tính số mũ.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 2.7.2.1.3.2

Chia $\sqrt{3}$ cho $1$ .

$y = \sqrt{3} \frac{1}{x}$

Bước 2.7.2.1.4

Kết hợp $\sqrt{3}$ và $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{x}$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ có là hàm ngược của $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}})))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Bước 4.2.3

Tách các phân số.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Bước 4.2.4

Viết lại $\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ theo sin và cosin.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}}$

Bước 4.2.5

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

Bước 4.2.6

Quy đổi từ $\frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ sang $\tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Bước 4.2.7

Chia $\sqrt{3}$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

Bước 4.2.8

Hàm tang và acrtang là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Bước 4.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Bước 4.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{\sqrt{3}}{x})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$

Bước 4.3.3

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ . Do đó, $\cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$ là $\frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$

Bước 4.3.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = 1 (\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}})$

Bước 4.3.5

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$ với $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$

Bước 4.3.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Bước 4.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

Bước 4.3.7.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ là hàm ngược của $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$