Lượng giác Ví dụ

$\cos (4 x) - \sin (4 x)$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \cos (4 y) - \sin (4 y)$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\cos (4 y) - \sin (4 y) = x$ .

$\cos (4 y) - \sin (4 y) = x$

Bước 2.2

Sử dụng đẳng thức lượng giác để giải phương trình. Trong đẳng thức này, $θ$ đại diện cho góc được tạo ra bằng cách vẽ điểm $(a, b)$ trên đồ thị và do đó có thể tìm được bằng $θ = \arctan (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ trong đó $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ và $θ = \arctan (\frac{b}{a})$

Bước 2.3

Lập phương trình để tìm giá trị của $θ$ .

$\arctan (\frac{1}{- 1})$

Bước 2.4

Lấy nghịch đảo tang để giải phương trình tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$θ = \arctan (- 1)$

Bước 2.4.2

Giá trị chính xác của $\arctan (- 1)$ là $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Bước 2.5

Giải để tìm giá trị của $R$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$R = \sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Bước 2.5.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$R = \sqrt{1 + 1}$

Bước 2.5.3

Cộng $1$ và $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Bước 2.6

Thay các giá trị đã biết vào phương trình.

$(\sqrt{2}) \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$

Bước 2.7

Chia mỗi số hạng trong $\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$ cho $\sqrt{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Chia mỗi số hạng trong $\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$ cho $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Bước 2.7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Bước 2.7.2.1.2

Chia $\sin (4 y - \frac{π}{4})$ cho $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Bước 2.7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.3.1

Nhân $\frac{x}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 2.7.3.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.3.2.1

Nhân $\frac{x}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 2.7.3.2.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 2.7.3.2.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 2.7.3.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 2.7.3.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 2.7.3.2.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.3.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 2.7.3.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.7.3.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.7.3.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.3.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.7.3.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 2.7.3.2.6.5

Tính số mũ.

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2}$

Bước 2.8

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm sin.

$4 y - \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})$

Bước 2.9

Cộng $\frac{π}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$

Bước 2.10

Chia mỗi số hạng trong $4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Chia mỗi số hạng trong $4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ cho $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Bước 2.10.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Bước 2.10.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Bước 2.10.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.3.1.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Bước 2.10.3.1.2

Nhân $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.3.1.2.1

Nhân $\frac{π}{4}$ với $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{4 \cdot 4}$

Bước 2.10.3.1.2.2

Nhân $4$ với $4$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ có là hàm ngược của $f (x) = \cos (4 x) - \sin (4 x)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (\frac{(\cos (4 x) - \sin (4 x)) \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Bước 4.2.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\arcsin (\frac{(\cos (4 x) - \sin (4 x)) \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ .

$f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2} (\cos (4 x) - \sin (4 x))}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Bước 4.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Bước 4.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 4.3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Bước 4.3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 (4)})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Bước 4.3.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 \cdot 4})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Bước 4.3.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

Bước 4.3.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Bước 4.3.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Bước 4.3.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{16}))$

Bước 4.3.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 (4)}))$

Bước 4.3.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 \cdot 4}))$

Bước 4.3.3.6.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4})$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ là hàm ngược của $f (x) = \cos (4 x) - \sin (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$