Lượng giác Ví dụ

$f (x) = \frac{8 x}{5 x - 3}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{8 x}{5 x - 3}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{8 x}{5 x - 3}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{8 y}{5 y - 3}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân phương trình với $5 y - 3$ .

$(5 y - 3) (x) = (\frac{8 y}{5 y - 3}) (5 y - 3)$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 y x - 3 x = (\frac{8 y}{5 y - 3}) (5 y - 3)$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $5 y - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 y x - 3 x = \frac{8 y}{5 y - 3} (5 y - 3)$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$5 y x - 3 x = 8 y$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $8 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$5 y x - 3 x - 8 y = 0$

Bước 3.4.2

Cộng $3 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$5 y x - 8 y = 3 x$

Bước 3.4.3

Đưa $y$ ra ngoài $5 y x - 8 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $5 y x$ .

$y (5 x) - 8 y = 3 x$

Bước 3.4.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 8 y$ .

$y (5 x) + y \cdot - 8 = 3 x$

Bước 3.4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (5 x) + y \cdot - 8$ .

$y (5 x - 8) = 3 x$

Bước 3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $y (5 x - 8) = 3 x$ cho $5 x - 8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (5 x - 8) = 3 x$ cho $5 x - 8$ .

$\frac{y (5 x - 8)}{5 x - 8} = \frac{3 x}{5 x - 8}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5 x - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (5 x - 8)}{5 x - 8} = \frac{3 x}{5 x - 8}$

Bước 3.4.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{3 x}{5 x - 8}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{5 x - 8}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{5 x - 8}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{8 x}{5 x - 3}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{3 (\frac{8 x}{5 x - 3})}{5 (\frac{8 x}{5 x - 3}) - 8}$

Bước 5.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{8 x}{5 x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{5 x - 3}}{5 (\frac{8 x}{5 x - 3}) - 8}$

Bước 5.2.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Nhân $5 \frac{8 x}{5 x - 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.1

Kết hợp $5$ và $\frac{8 x}{5 x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{5 x - 3}}{\frac{5 (8 x)}{5 x - 3} - 8}$

Bước 5.2.4.1.2

Nhân $8$ với $5$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{5 x - 3}}{\frac{40 x}{5 x - 3} - 8}$

Bước 5.2.4.2

Để viết $- 8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5 x - 3}{5 x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{5 x - 3}}{\frac{40 x}{5 x - 3} - 8 \cdot \frac{5 x - 3}{5 x - 3}}$

Bước 5.2.4.3

Kết hợp $- 8$ và $\frac{5 x - 3}{5 x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{5 x - 3}}{\frac{40 x}{5 x - 3} + \frac{- 8 (5 x - 3)}{5 x - 3}}$

Bước 5.2.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{5 x - 3}}{\frac{40 x - 8 (5 x - 3)}{5 x - 3}}$

Bước 5.2.4.5

Viết lại $\frac{40 x - 8 (5 x - 3)}{5 x - 3}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.5.1

Đưa $8$ ra ngoài $40 x - 8 (5 x - 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.5.1.1

Đưa $8$ ra ngoài $40 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{5 x - 3}}{\frac{8 (5 x) - 8 (5 x - 3)}{5 x - 3}}$

Bước 5.2.4.5.1.2

Đưa $8$ ra ngoài $- 8 (5 x - 3)$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{5 x - 3}}{\frac{8 (5 x) + 8 (- (5 x - 3))}{5 x - 3}}$

Bước 5.2.4.5.1.3

Đưa $8$ ra ngoài $8 (5 x) + 8 (- (5 x - 3))$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{5 x - 3}}{\frac{8 (5 x - (5 x - 3))}{5 x - 3}}$

Bước 5.2.4.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{5 x - 3}}{\frac{8 (5 x - (5 x) + 3)}{5 x - 3}}$

Bước 5.2.4.5.3

Nhân $5$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{5 x - 3}}{\frac{8 (5 x - 5 x + 3)}{5 x - 3}}$

Bước 5.2.4.5.4

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{5 x - 3}}{\frac{8 (5 x - 5 x + 3)}{5 x - 3}}$

Bước 5.2.4.5.5

Trừ $5 x$ khỏi $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{5 x - 3}}{\frac{8 (0 + 3)}{5 x - 3}}$

Bước 5.2.4.5.6

Cộng $0$ và $3$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{5 x - 3}}{\frac{8 \cdot 3}{5 x - 3}}$

Bước 5.2.4.6

Nhân $8$ với $3$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{5 x - 3}}{\frac{24}{5 x - 3}}$

Bước 5.2.5

Nhân $3$ với $8$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{24 x}{5 x - 3}}{\frac{24}{5 x - 3}}$

Bước 5.2.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{24 x}{5 x - 3} \cdot \frac{5 x - 3}{24}$

Bước 5.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Đưa $24$ ra ngoài $24 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{24 (x)}{5 x - 3} \cdot \frac{5 x - 3}{24}$

Bước 5.2.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{24 x}{5 x - 3} \cdot \frac{5 x - 3}{24}$

Bước 5.2.7.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{x}{5 x - 3} \cdot (5 x - 3)$

Bước 5.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $5 x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = \frac{x}{5 x - 3} \cdot (5 x - 3)$

Bước 5.2.8.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{5 x - 3}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{3 x}{5 x - 8})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{8 (\frac{3 x}{5 x - 8})}{5 (\frac{3 x}{5 x - 8}) - 3}$

Bước 5.3.3

Kết hợp $8$ và $\frac{3 x}{5 x - 8}$ .

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{5 x - 8}}{5 (\frac{3 x}{5 x - 8}) - 3}$

Bước 5.3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Nhân $5 \frac{3 x}{5 x - 8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1.1

Kết hợp $5$ và $\frac{3 x}{5 x - 8}$ .

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{5 x - 8}}{\frac{5 (3 x)}{5 x - 8} - 3}$

Bước 5.3.4.1.2

Nhân $3$ với $5$ .

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{5 x - 8}}{\frac{15 x}{5 x - 8} - 3}$

Bước 5.3.4.2

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5 x - 8}{5 x - 8}$ .

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{5 x - 8}}{\frac{15 x}{5 x - 8} - 3 \cdot \frac{5 x - 8}{5 x - 8}}$

Bước 5.3.4.3

Kết hợp $- 3$ và $\frac{5 x - 8}{5 x - 8}$ .

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{5 x - 8}}{\frac{15 x}{5 x - 8} + \frac{- 3 (5 x - 8)}{5 x - 8}}$

Bước 5.3.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{5 x - 8}}{\frac{15 x - 3 (5 x - 8)}{5 x - 8}}$

Bước 5.3.4.5

Viết lại $\frac{15 x - 3 (5 x - 8)}{5 x - 8}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $15 x - 3 (5 x - 8)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.5.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $15 x$ .

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{5 x - 8}}{\frac{3 (5 x) - 3 (5 x - 8)}{5 x - 8}}$

Bước 5.3.4.5.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 (5 x - 8)$ .

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{5 x - 8}}{\frac{3 (5 x) + 3 (- (5 x - 8))}{5 x - 8}}$

Bước 5.3.4.5.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (5 x) + 3 (- (5 x - 8))$ .

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{5 x - 8}}{\frac{3 (5 x - (5 x - 8))}{5 x - 8}}$

Bước 5.3.4.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{5 x - 8}}{\frac{3 (5 x - (5 x) + 8)}{5 x - 8}}$

Bước 5.3.4.5.3

Nhân $5$ với $- 1$ .

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{5 x - 8}}{\frac{3 (5 x - 5 x + 8)}{5 x - 8}}$

Bước 5.3.4.5.4

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{5 x - 8}}{\frac{3 (5 x - 5 x + 8)}{5 x - 8}}$

Bước 5.3.4.5.5

Trừ $5 x$ khỏi $5 x$ .

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{5 x - 8}}{\frac{3 (0 + 8)}{5 x - 8}}$

Bước 5.3.4.5.6

Cộng $0$ và $8$ .

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{5 x - 8}}{\frac{3 \cdot 8}{5 x - 8}}$

Bước 5.3.4.6

Nhân $3$ với $8$ .

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{5 x - 8}}{\frac{24}{5 x - 8}}$

Bước 5.3.5

Nhân $8$ với $3$ .

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{\frac{24 x}{5 x - 8}}{\frac{24}{5 x - 8}}$

Bước 5.3.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{24 x}{5 x - 8} \cdot \frac{5 x - 8}{24}$

Bước 5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Đưa $24$ ra ngoài $24 x$ .

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{24 (x)}{5 x - 8} \cdot \frac{5 x - 8}{24}$

Bước 5.3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{24 x}{5 x - 8} \cdot \frac{5 x - 8}{24}$

Bước 5.3.7.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{x}{5 x - 8} \cdot (5 x - 8)$

Bước 5.3.8

Triệt tiêu thừa số chung $5 x - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = \frac{x}{5 x - 8} \cdot (5 x - 8)$

Bước 5.3.8.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{3 x}{5 x - 8}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{5 x - 8}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{8 x}{5 x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{5 x - 8}$