Lượng giác Ví dụ

$y = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{\sqrt{2 y + 4}}{3}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} = x$ .

$\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} = x$

Bước 2.2

Nhân cả hai vế với $3$ .

$\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Rút gọn $\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y$ .

$\frac{\sqrt{2 (y) + 4}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Bước 2.3.1.1.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{\sqrt{2 y + 2 \cdot 2}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Bước 2.3.1.1.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 y + 2 \cdot 2$ .

$\frac{\sqrt{2 (y + 2)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Bước 2.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{2 (y + 2)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Bước 2.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{2 (y + 2)} = x \cdot 3$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$\sqrt{2 (y + 2)} = 3 x$

Bước 2.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{2 (y + 2)}}^{2} = {(3 x)}^{2}$

Bước 2.4.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 (y + 2)}$ ở dạng ${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x)}^{2}$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Rút gọn ${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x)}^{2}$

Bước 2.4.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x)}^{2}$

Bước 2.4.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(2 (y + 2))}^{1} = {(3 x)}^{2}$

Bước 2.4.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(2 y + 2 \cdot 2)}^{1} = {(3 x)}^{2}$

Bước 2.4.2.2.1.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

${(2 y + 4)}^{1} = {(3 x)}^{2}$

Bước 2.4.2.2.1.3.2

Rút gọn.

$2 y + 4 = {(3 x)}^{2}$

Bước 2.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1

Rút gọn ${(3 x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$2 y + 4 = 3^{2} x^{2}$

Bước 2.4.2.3.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$2 y + 4 = 9 x^{2}$

Bước 2.4.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y = 9 x^{2} - 4$

Bước 2.4.3.2

Chia mỗi số hạng trong $2 y = 9 x^{2} - 4$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = 9 x^{2} - 4$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

Bước 2.4.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

Bước 2.4.3.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

Bước 2.4.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.3.1

Chia $- 4$ cho $2$ .

$y = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Bước 4.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 (x) + 4}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Bước 4.2.3.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 x + 2 \cdot 2}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Bước 4.2.3.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 2 \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 (x + 2)}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Bước 4.2.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2 (x + 2)}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{\sqrt{2 (x + 2)}}^{2}}{3^{2}})}{2} - 2$

Bước 4.2.3.2.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.2.1

Viết lại ${\sqrt{2 (x + 2)}}^{2}$ ở dạng $2 (x + 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 (x + 2)}$ ở dạng ${(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{({(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{2} - 2$

Bước 4.2.3.2.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{2} - 2$

Bước 4.2.3.2.2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{2} - 2$

Bước 4.2.3.2.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{2} - 2$

Bước 4.2.3.2.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

Bước 4.2.3.2.2.1.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

Bước 4.2.3.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3^{2}})}{2} - 2$

Bước 4.2.3.2.2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 4}{3^{2}})}{2} - 2$

Bước 4.2.3.2.2.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x) + 4}{3^{2}})}{2} - 2$

Bước 4.2.3.2.2.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3^{2}})}{2} - 2$

Bước 4.2.3.2.2.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 2 \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

Bước 4.2.3.2.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{9})}{2} - 2$

Bước 4.2.3.3

Kết hợp $9$ và $\frac{2 (x + 2)}{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9}}{2} - 2$

Bước 4.2.3.4

Nhân $9$ với $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{18 (x + 2)}{9}}{2} - 2$

Bước 4.2.3.5

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.5.1

Rút gọn biểu thức $\frac{18 (x + 2)}{9}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.5.1.1

Đưa $9$ ra ngoài $18 (x + 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9}}{2} - 2$

Bước 4.2.3.5.1.2

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9 (1)}}{2} - 2$

Bước 4.2.3.5.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9 \cdot 1}}{2} - 2$

Bước 4.2.3.5.1.4

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{2 (x + 2)}{1}}{2} - 2$

Bước 4.2.3.5.2

Chia $2 (x + 2)$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{2 (x + 2)}{2} - 2$

Bước 4.2.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{2 (x + 2)}{2} - 2$

Bước 4.2.3.6.2

Chia $x + 2$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x + 2 - 2$

Bước 4.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 2 - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x + 0$

Bước 4.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 4}}{3}$

Bước 4.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 2 \cdot 2}}{3}$

Bước 4.3.3.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 2 \cdot 2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2 + 2)}}{3}$

Bước 4.3.3.2

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} + 2)}}{3}$

Bước 4.3.3.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + 2)}}{3}$

Bước 4.3.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + 2)}}{3}$

Bước 4.3.3.5

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}}{3}$

Bước 4.3.3.6

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Bước 4.3.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Bước 4.3.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Bước 4.3.3.9

Viết lại $\frac{9 x^{2} + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.9.1

Nhân $2$ với $2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 4 - 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Bước 4.3.3.9.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 4 - 4}{2})}}{3}$

Bước 4.3.3.9.3

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 0}{2})}}{3}$

Bước 4.3.3.9.4

Cộng $9 x^{2}$ và $0$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2})}}{3}$

Bước 4.3.3.10

Kết hợp $2$ và $\frac{9 x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2}}}{3}$

Bước 4.3.3.11

Nhân $2$ với $9$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{18 x^{2}}{2}}}{3}$

Bước 4.3.3.12

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.12.1

Rút gọn biểu thức $\frac{18 x^{2}}{2}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.12.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $18 x^{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2}}}{3}$

Bước 4.3.3.12.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2 (1)}}}{3}$

Bước 4.3.3.12.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2 \cdot 1}}}{3}$

Bước 4.3.3.12.1.4

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{1}}}{3}$

Bước 4.3.3.12.2

Chia $9 x^{2}$ cho $1$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{9 x^{2}}}{3}$

Bước 4.3.3.13

Viết lại $9 x^{2}$ ở dạng ${(3 x)}^{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2}}}{3}$

Bước 4.3.3.14

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Bước 4.3.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$