Lượng giác Ví dụ

$\sec (\arctan (\frac{x}{3}))$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \sec (\arctan (\frac{y}{3}))$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sec (\arctan (\frac{y}{3})) = x$ .

$\sec (\arctan (\frac{y}{3})) = x$

Bước 2.2

Lấy secant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $\arctan (\frac{y}{3})$ từ bên trong secant.

$\arctan (\frac{y}{3}) = arcsec (x)$

Bước 2.3

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$\frac{y}{3} = \tan (arcsec (x))$

Bước 2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Rút gọn $\tan (arcsec (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Viết biểu thức bằng số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, \sqrt{x^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $arcsec (x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, \sqrt{x^{2} - 1^{2}})$ . Do đó, $\tan (arcsec (x))$ là $\sqrt{x^{2} - 1}$ .

$\frac{y}{3} = \sqrt{x^{2} - 1}$

Bước 2.4.1.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{y}{3} = \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Bước 2.4.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{y}{3} = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 2.5

Nhân cả hai vế của phương trình với $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 2.6

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{y}{3} = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 2.6.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ có là hàm ngược của $f (x) = \sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3})))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{((\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) + 1) ((\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) - 1)}$

Bước 4.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, \frac{x}{3})$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arctan (\frac{x}{3})$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, \frac{x}{3})$ . Do đó, $\sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ là $\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Bước 4.2.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Bước 4.2.3.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Bước 4.2.3.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Bước 4.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Bước 4.2.5

Viết lại $\frac{9 + x^{2}}{9}$ ở dạng ${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $9 + x^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Bước 4.2.5.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $3^{2}$ ra ngoài $9$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Bước 4.2.5.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Bước 4.2.6

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 + x^{2}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Bước 4.2.7

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Bước 4.2.8

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + \frac{3}{3}) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Bước 4.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Bước 4.2.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.10.1

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} - 1)}$

Bước 4.2.10.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}} - 1)}$

Bước 4.2.10.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}} - 1)}$

Bước 4.2.10.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}} - 1)}$

Bước 4.2.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}} - 1)}$

Bước 4.2.12

Viết lại $\frac{9 + x^{2}}{9}$ ở dạng ${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.12.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $9 + x^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}} - 1)}$

Bước 4.2.12.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $3^{2}$ ra ngoài $9$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}} - 1)}$

Bước 4.2.12.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})} - 1)}$

Bước 4.2.13

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 + x^{2}} - 1)}$

Bước 4.2.14

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} - 1)}$

Bước 4.2.15

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}$

Bước 4.2.16

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.16.1

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}$

Bước 4.2.16.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 1 \cdot 3}{3}}$

Bước 4.2.16.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 3}{3}}$

Bước 4.2.16.4

Nhân $\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3}$ với $\frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{3 \cdot 3}}$

Bước 4.2.16.5

Nhân $3$ với $3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

Bước 4.2.17

Khai triển $(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.17.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} (\sqrt{9 + x^{2}} - 3) + 3 (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

Bước 4.2.17.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

Bước 4.2.17.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Bước 4.2.18

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.18.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.18.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $\sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3$ và $3 \sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} - 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Bước 4.2.18.1.2

Cộng $- 3 \sqrt{9 + x^{2}}$ và $3 \sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 0 + 3 \cdot - 3}{9}}$

Bước 4.2.18.1.3

Cộng $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}$ và $0$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Bước 4.2.18.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.18.2.1

Nhân $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.18.2.1.1

Nâng $\sqrt{9 + x^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Bước 4.2.18.2.1.2

Nâng $\sqrt{9 + x^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Bước 4.2.18.2.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{1 + 1} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Bước 4.2.18.2.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Bước 4.2.18.2.2

Viết lại ${\sqrt{9 + x^{2}}}^{2}$ ở dạng $9 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.18.2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{9 + x^{2}}$ ở dạng ${(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{({(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Bước 4.2.18.2.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Bước 4.2.18.2.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Bước 4.2.18.2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.18.2.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Bước 4.2.18.2.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(9 + x^{2}) + 3 \cdot - 3}{9}}$

Bước 4.2.18.2.2.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{9 + x^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Bước 4.2.18.2.3

Nhân $3$ với $- 3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{9 + x^{2} - 9}{9}}$

Bước 4.2.18.3

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.18.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $9 + x^{2} - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.18.3.1.1

Trừ $9$ khỏi $9$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2} + 0}{9}}$

Bước 4.2.18.3.1.2

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

Bước 4.2.18.3.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Bước 4.2.19

Viết lại $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ ở dạng ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

Bước 4.2.20

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 (\frac{x}{3})$

Bước 4.2.21

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.21.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 (\frac{x}{3})$

Bước 4.2.21.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sec (\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3}))$

Bước 4.3.3

Rút gọn bằng cách loại bỏ số mũ chứa căn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, \frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, \frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ . Do đó, $\sec (\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3}))$ là $\sqrt{1 + {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Bước 4.3.3.2

Viết lại ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ ở dạng $(x + 1) (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ ở dạng ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.3.3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.3.3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.3.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.3.3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + (x + 1) (x - 1)}$

Bước 4.3.3.2.5

Rút gọn.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + (x + 1) (x - 1)}$

Bước 4.3.4

Khai triển $(x + 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x (x - 1) + 1 (x - 1)}$

Bước 4.3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}$

Bước 4.3.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Bước 4.3.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Bước 4.3.5.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Bước 4.3.5.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Bước 4.3.5.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1}$

Bước 4.3.5.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + x - 1}$

Bước 4.3.5.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} + 0 - 1}$

Bước 4.3.5.3

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1}$

Bước 4.3.6

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Bước 4.3.7

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{x^{2}}$

Bước 4.3.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ là hàm ngược của $f (x) = \sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$