Lượng giác Ví dụ

$f (x) = \arctan (2 x)$

Bước 1

Viết $f (x) = \arctan (2 x)$ ở dạng một phương trình.

$y = \arctan (2 x)$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \arctan (2 y)$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\arctan (2 y) = x$ .

$\arctan (2 y) = x$

Bước 3.2

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$2 y = \tan (x)$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \tan (x)$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \tan (x)$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (x)}{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (x)}{2}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{2}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\tan (x)}{2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\tan (x)}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = \arctan (2 x)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\arctan (2 x))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arctan (2 x)) = \frac{\tan (\arctan (2 x))}{2}$

Bước 5.2.3

Hàm tang và acrtang là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (\arctan (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\arctan (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\arctan (2 x)) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\tan (x)}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\tan (x)}{2}) = \arctan (2 (\frac{\tan (x)}{2}))$

Bước 5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\tan (x)}{2}) = \arctan (2 (\frac{\tan (x)}{2}))$

Bước 5.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\tan (x)}{2}) = \arctan (\tan (x))$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\tan (x)}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = \arctan (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\tan (x)}{2}$