Lượng giác Ví dụ

$f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$

Bước 1

Viết $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ ở dạng một phương trình.

$y = 7 \arcsin (x^{2})$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 7 \arcsin (y^{2})$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $7 \arcsin (y^{2}) = x$ .

$7 \arcsin (y^{2}) = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $7 \arcsin (y^{2}) = x$ cho $7$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $7 \arcsin (y^{2}) = x$ cho $7$ .

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $\arcsin (y^{2})$ cho $1$ .

$\arcsin (y^{2}) = \frac{x}{7}$

Bước 3.3

Lấy nghịch đảo arcsin cho cả hai vế của phương trình để rút $y$ từ bên trong arcsin.

$y^{2} = \sin (\frac{x}{7})$

Bước 3.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Bước 3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Bước 3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Bước 3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ có là hàm ngược của $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ và $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ rồi so sánh.

Bước 5.2

Tìm miền giá trị của $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[- \frac{7 π}{2}, \frac{7 π}{2}]$

Bước 5.3

Find the domain of the inverse.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Tìm tập xác định của $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\sin (\frac{x}{7}) \geq 0$

Bước 5.3.1.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$\frac{x}{7} \geq \arcsin (0)$

Bước 5.3.1.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$\frac{x}{7} \geq 0$

Bước 5.3.1.2.3

Nhân cả hai vế với $7$ .

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Bước 5.3.1.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Bước 5.3.1.2.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x \geq 0 \cdot 7$

Bước 5.3.1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.4.2.1

Nhân $0$ với $7$ .

$x \geq 0$

Bước 5.3.1.2.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{x}{7} = π - 0$

Bước 5.3.1.2.6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.6.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $7$ .

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

Bước 5.3.1.2.6.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.6.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.6.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

Bước 5.3.1.2.6.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = 7 (π - 0)$

Bước 5.3.1.2.6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.6.2.2.1

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = 7 π$

Bước 5.3.1.2.7

Tìm chu kỳ của $\sin (\frac{x}{7})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 5.3.1.2.7.2

Thay thế $b$ với $\frac{1}{7}$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{7} |}$

Bước 5.3.1.2.7.3

$\frac{1}{7}$ xấp xỉ $0.\overline{142857}$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{2 π}{\frac{1}{7}}$

Bước 5.3.1.2.7.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 π \cdot 7$

Bước 5.3.1.2.7.5

Nhân $7$ với $2$ .

$14 π$

Bước 5.3.1.2.8

Chu kỳ của hàm $\sin (\frac{x}{7})$ là $14 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $14 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 14 π n, 7 π + 14 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5.3.1.2.9

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = 7 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5.3.1.2.10

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$0 < x < 7 π$

$7 π < x < 14 π$

Bước 5.3.1.2.11

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.11.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 7 π$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.11.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 7 π$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 5.3.1.2.11.1.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sin (\frac{2}{7}) \geq 0$

Bước 5.3.1.2.11.1.3

Vế trái $0.28184285$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 5.3.1.2.11.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $7 π < x < 14 π$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.11.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $7 π < x < 14 π$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 24$

Bước 5.3.1.2.11.2.2

Thay thế $x$ bằng $24$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sin (\frac{24}{7}) \geq 0$

Bước 5.3.1.2.11.2.3

Vế trái $- 0.28305585$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 5.3.1.2.11.3

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$0 < x < 7 π$ Đúng

$7 π < x < 14 π$ Sai

$0 < x < 7 π$ Đúng

$7 π < x < 14 π$ Sai

Bước 5.3.1.2.12

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$0 + 14 π n \leq x \leq 7 π + 14 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5.3.1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

${x | x = 0 + 14 π n, x = 7 π + 14 π n}$ $n$ , đối với bất kỳ số nguyên $n$ nào

Bước 5.3.2

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Phần hợp bao gồm tất cả các phần tử được chứa trong mỗi khoảng.

Không có đáp án

Bước 5.4

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ không bằng khoảng biến thiên của $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ , nên $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ không phải là hàm ngược của $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

Không có hàm ngược

Bước 6