Lượng giác Ví dụ

$f (x) = 3 + \cos (\frac{x}{4})$

Bước 1

Viết $f (x) = 3 + \cos (\frac{x}{4})$ ở dạng một phương trình.

$y = 3 + \cos (\frac{x}{4})$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 3 + \cos (\frac{y}{4})$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 + \cos (\frac{y}{4}) = x$ .

$3 + \cos (\frac{y}{4}) = x$

Bước 3.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\cos (\frac{y}{4}) = x - 3$

Bước 3.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong cosin.

$\frac{y}{4} = \arccos (x - 3)$

Bước 3.4

Nhân cả hai vế của phương trình với $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 \arccos (x - 3)$

Bước 3.5

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{y}{4} = 4 \arccos (x - 3)$

Bước 3.5.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = 4 \arccos (x - 3)$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 4 \arccos (x - 3)$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 4 \arccos (x - 3)$ có là hàm ngược của $f (x) = 3 + \cos (\frac{x}{4})$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (3 + \cos (\frac{x}{4}))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 + \cos (\frac{x}{4})) = 4 \arccos ((3 + \cos (\frac{x}{4})) - 3)$

Bước 5.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $(3 + \cos (\frac{x}{4})) - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$f^{- 1} (3 + \cos (\frac{x}{4})) = 4 \arccos (0 + \cos (\frac{x}{4}))$

Bước 5.2.3.2

Cộng $0$ và $\cos (\frac{x}{4})$ .

$f^{- 1} (3 + \cos (\frac{x}{4})) = 4 \arccos (\cos (\frac{x}{4}))$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (4 \arccos (x - 3))$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (4 \arccos (x - 3)) = 3 + \cos (\frac{4 \arccos (x - 3)}{4})$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (4 \arccos (x - 3)) = 3 + \cos (\frac{4 \arccos (x - 3)}{4})$

Bước 5.3.3.1.2

Chia $\arccos (x - 3)$ cho $1$ .

$f (4 \arccos (x - 3)) = 3 + \cos (\arccos (x - 3))$

Bước 5.3.3.2

Hàm cosin và arccosin là nghịch đảo.

$f (4 \arccos (x - 3)) = 3 + x - 3$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 + x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$f (4 \arccos (x - 3)) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (4 \arccos (x - 3)) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 4 \arccos (x - 3)$ là hàm ngược của $f (x) = 3 + \cos (\frac{x}{4})$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \arccos (x - 3)$