Lượng giác Ví dụ

$f (x) = 2 \cos (3 x + 2)$

Bước 1

Viết $f (x) = 2 \cos (3 x + 2)$ ở dạng một phương trình.

$y = 2 \cos (3 x + 2)$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 2 \cos (3 y + 2)$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 \cos (3 y + 2) = x$ .

$2 \cos (3 y + 2) = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (3 y + 2) = x$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (3 y + 2) = x$ cho $2$ .

$\frac{2 \cos (3 y + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos (3 y + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $\cos (3 y + 2)$ cho $1$ .

$\cos (3 y + 2) = \frac{x}{2}$

Bước 3.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong cosin.

$3 y + 2 = \arccos (\frac{x}{2})$

Bước 3.4

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y = \arccos (\frac{x}{2}) - 2$

Bước 3.5

Chia mỗi số hạng trong $3 y = \arccos (\frac{x}{2}) - 2$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y = \arccos (\frac{x}{2}) - 2$ cho $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 2}{3}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 2}{3}$

Bước 3.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 2}{3}$

Bước 3.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}$ có là hàm ngược của $f (x) = 2 \cos (3 x + 2)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (2 \cos (3 x + 2))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \cos (3 x + 2)) = \frac{\arccos (\frac{2 \cos (3 x + 2)}{2})}{3} - \frac{2}{3}$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (2 \cos (3 x + 2)) = \frac{\arccos (\frac{2 \cos (3 x + 2)}{2})}{3} - \frac{2}{3}$

Bước 5.2.3.2

Chia $\cos (3 x + 2)$ cho $1$ .

$f^{- 1} (2 \cos (3 x + 2)) = \frac{\arccos (\cos (3 x + 2))}{3} - \frac{2}{3}$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) + 2)$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{2}{3}) + 2)$

Bước 5.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{2}{3}) + 2)$

Bước 5.3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}) + 3 (- \frac{2}{3}) + 2)$

Bước 5.3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2}{3}$ vào tử số.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}) + 3 (\frac{- 2}{3}) + 2)$

Bước 5.3.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}) + 3 (\frac{- 2}{3}) + 2)$

Bước 5.3.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}) - 2 + 2)$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\arccos (\frac{x}{2}) - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}) + 0)$

Bước 5.3.4.2

Cộng $\arccos (\frac{x}{2})$ và $0$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}))$

Bước 5.3.5

Hàm cosin và arccosin là nghịch đảo.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 (\frac{x}{2})$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = 2 (\frac{x}{2})$

Bước 5.3.6.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}$ là hàm ngược của $f (x) = 2 \cos (3 x + 2)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{2})}{3} - \frac{2}{3}$