Lượng giác Ví dụ

$f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$

Bước 1

Viết $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ ở dạng một phương trình.

$y = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 2 + \cos (\frac{π}{2} y)$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 + \cos (\frac{π}{2} y) = x$ .

$2 + \cos (\frac{π}{2} y) = x$

Bước 3.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\cos (\frac{π}{2} y) = x - 2$

Bước 3.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong cosin.

$\frac{π}{2} y = \arccos (x - 2)$

Bước 3.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp $\frac{π}{2}$ và $y$ .

$\frac{π y}{2} = \arccos (x - 2)$

Bước 3.5

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2} = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Bước 3.6

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Rút gọn $\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2} = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Bước 3.6.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{π} (π y) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Bước 3.6.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1.2.1

Đưa $π$ ra ngoài $π y$ .

$\frac{1}{π} (π (y)) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Bước 3.6.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{π} (π y) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Bước 3.6.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Bước 3.6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Kết hợp $\frac{2}{π}$ và $\arccos (x - 2)$ .

$y = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$ có là hàm ngược của $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos ((2 + \cos (\frac{π}{2} x)) - 2)}{π}$

Bước 5.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 + \cos (\frac{π}{2} x) - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (0 + \cos (\frac{π}{2} x))}{π}$

Bước 5.2.3.1.2

Cộng $0$ và $\cos (\frac{π}{2} x)$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (\cos (\frac{π}{2} x))}{π}$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp $\frac{π}{2}$ và $x$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (\cos (\frac{π x}{2}))}{π}$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{π}{2} \cdot (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}))$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{π}{2} \cdot \frac{2 \arccos (x - 2)}{π})$

Bước 5.3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arccos (x - 2)))$

Bước 5.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \arccos (x - 2)$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arccos (x - 2))))$

Bước 5.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arccos (x - 2)))$

Bước 5.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\arccos (x - 2))$

Bước 5.3.3.3

Hàm cosin và arccosin là nghịch đảo.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + x - 2$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 + x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$ là hàm ngược của $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$