Lượng giác Ví dụ

$f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$

Bước 1

Viết $f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ ở dạng một phương trình.

$y = 2 e^{x - 2} + 4$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 2 e^{y - 2} + 4$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 e^{y - 2} + 4 = x$ .

$2 e^{y - 2} + 4 = x$

Bước 3.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 e^{y - 2} = x - 4$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $2 e^{y - 2} = x - 4$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 e^{y - 2} = x - 4$ cho $2$ .

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $e^{y - 2}$ cho $1$ .

$e^{y - 2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Chia $- 4$ cho $2$ .

$e^{y - 2} = \frac{x}{2} - 2$

Bước 3.4

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y - 2}) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Bước 3.5

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Khai triển $\ln (e^{y - 2})$ bằng cách di chuyển $y - 2$ ra bên ngoài lôgarit.

$(y - 2) \ln (e) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Bước 3.5.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$(y - 2) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Bước 3.5.3

Nhân $y - 2$ với $1$ .

$y - 2 = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Bước 3.6

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$ có là hàm ngược của $f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 e^{x - 2} + 4}{2} - 2) + 2$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2 e^{x - 2} + 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 e^{x - 2}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2}) + 4}{2} - 2) + 2$

Bước 5.2.3.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2}) + 2 \cdot 2}{2} - 2) + 2$

Bước 5.2.3.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (e^{x - 2}) + 2 (2)$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2} - 2) + 2$

Bước 5.2.3.1.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2 (1)} - 2) + 2$

Bước 5.2.3.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2 \cdot 1} - 2) + 2$

Bước 5.2.3.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{e^{x - 2} + 2}{1} - 2) + 2$

Bước 5.2.3.1.4.4

Chia $e^{x - 2} + 2$ cho $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2} + 2 - 2) + 2$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $e^{x - 2} + 2 - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2} + 0) + 2$

Bước 5.2.3.2.2

Cộng $e^{x - 2}$ và $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2}) + 2$

Bước 5.2.3.3

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x - 2$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = (x - 2) \ln (e) + 2$

Bước 5.2.3.4

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

Bước 5.2.3.5

Nhân $x - 2$ với $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x - 2 + 2$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{(\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) - 2} + 4$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 e^{(\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) - 2} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} - 2) + 0} + 4$

Bước 5.3.3.2

Cộng $\ln (\frac{x}{2} - 2)$ và $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} - 2)} + 4$

Bước 5.3.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2} - 2) + 4$

Bước 5.3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot - 2 + 4$

Bước 5.3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot - 2 + 4$

Bước 5.3.4.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x + 2 \cdot - 2 + 4$

Bước 5.3.4.4

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x - 4 + 4$

Bước 5.3.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 4 + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Cộng $- 4$ và $4$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x + 0$

Bước 5.3.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$ là hàm ngược của $f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$