Lượng giác Ví dụ

$y = \log_{2} (2 x - 3)$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \log_{2} (2 y - 3)$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\log_{2} (2 y - 3) = x$ .

$\log_{2} (2 y - 3) = x$

Bước 2.2

Viết lại $\log_{2} (2 y - 3) = x$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 2 y - 3$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 y - 3 = 2^{x}$ .

$2 y - 3 = 2^{x}$

Bước 2.3.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 y = 2^{x} + 3$

Bước 2.3.3

Chia mỗi số hạng trong $2 y = 2^{x} + 3$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = 2^{x} + 3$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Bước 2.3.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Bước 2.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2^{x}$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2^{x}$ .

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2} + \frac{3}{2}$

Bước 2.3.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 (1)} + \frac{3}{2}$

Bước 2.3.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 \cdot 1} + \frac{3}{2}$

Bước 2.3.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{2^{x - 1}}{1} + \frac{3}{2}$

Bước 2.3.3.3.1.2.4

Chia $2^{x - 1}$ cho $1$ .

$y = 2^{x - 1} + \frac{3}{2}$

Bước 2.3.3.3.2

Để viết $2^{x - 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = 2^{x - 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Bước 2.3.3.3.3

Kết hợp $2^{x - 1}$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

Bước 2.3.3.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2 + 3}{2}$

Bước 2.3.3.3.5

Nhân $2^{x - 1}$ với $2$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.3.5.1

Nhân $2^{x - 1}$ với $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.3.5.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2^{1} + 3}{2}$

Bước 2.3.3.3.5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{2^{x - 1 + 1} + 3}{2}$

Bước 2.3.3.3.5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.3.5.2.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$y = \frac{2^{x + 0} + 3}{2}$

Bước 2.3.3.3.5.2.2

Cộng $x$ và $0$ .

$y = \frac{2^{x} + 3}{2}$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2^{\log_{2} (2 x - 3)} + 3}{2}$

Bước 4.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

Bước 4.2.3.2

Cộng $- 3$ và $3$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Bước 4.2.3.3

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Bước 4.2.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{2^{x} + 3}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

Bước 4.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 3 - 3)$

Bước 4.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2^{x} + 3 - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 0)$

Bước 4.3.4.2

Cộng $2^{x}$ và $0$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x})$

Bước 4.3.5

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x$ ra khỏi số mũ.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \log_{2} (2)$

Bước 4.3.6

Logarit cơ số $2$ của $2$ là $1$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \cdot 1$

Bước 4.3.7

Nhân $x$ với $1$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$