Lượng giác Ví dụ

$y = \frac{1}{3^{x}}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{1}{3^{y}}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{3^{y}} = x$ .

$\frac{1}{3^{y}} = x$

Bước 2.2

Nhân cả hai vế với $3^{y}$ .

$\frac{1}{3^{y}} \cdot 3^{y} = x \cdot 3^{y}$

Bước 2.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $3^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3^{y}} \cdot 3^{y} = x \cdot 3^{y}$

Bước 2.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 = x \cdot 3^{y}$

Bước 2.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $x \cdot 3^{y} = 1$ .

$x \cdot 3^{y} = 1$

Bước 2.4.2

Chia mỗi số hạng trong $x \cdot 3^{y} = 1$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x \cdot 3^{y} = 1$ cho $x$ .

$\frac{x \cdot 3^{y}}{x} = \frac{1}{x}$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cdot 3^{y}}{x} = \frac{1}{x}$

Bước 2.4.2.2.1.2

Chia $3^{y}$ cho $1$ .

$3^{y} = \frac{1}{x}$

Bước 2.4.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (3^{y}) = \ln (\frac{1}{x})$

Bước 2.4.4

Khai triển $\ln (3^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$

Bước 2.4.5

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$ cho $\ln (3)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$ cho $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Bước 2.4.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Bước 2.4.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{3^{x}}})}{\ln (3)}$

Bước 4.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (1 \cdot 3^{x})}{\ln (3)}$

Bước 4.2.3.2

Nhân $3^{x}$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Bước 4.2.4

Khai triển $\ln (3^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Bước 4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Bước 4.2.5.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{3^{\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}}}$

Bước 4.3.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Sử dụng quy tắc đổi cơ số $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{3^{\log_{3} (\frac{1}{x})}}$

Bước 4.3.3.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Bước 4.3.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = 1 x$

Bước 4.3.5

Nhân $x$ với $1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$