Lượng giác Ví dụ

$y = 1 + 2 \arctan (x)$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 1 + 2 \arctan (y)$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $1 + 2 \arctan (y) = x$ .

$1 + 2 \arctan (y) = x$

Bước 2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \arctan (y) = x - 1$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $2 \arctan (y) = x - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \arctan (y) = x - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 2.3.2.1.2

Chia $\arctan (y)$ cho $1$ .

$\arctan (y) = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\arctan (y) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 2.4

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ có là hàm ngược của $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x)}{2} - \frac{1}{2})$

Bước 4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x) - 1}{2})$

Bước 4.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 + 2 \arctan (x) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x) + 0}{2})$

Bước 4.2.4.2

Cộng $2 \arctan (x)$ và $0$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

Bước 4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

Bước 4.2.5.2

Chia $\arctan (x)$ cho $1$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

Bước 4.2.6

Hàm tang và acrtang là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})) = 1 + 2 \arctan (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ là hàm ngược của $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$