Lượng giác Ví dụ

$y = \csc (3 x) - 1$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \csc (3 y) - 1$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\csc (3 y) - 1 = x$ .

$\csc (3 y) - 1 = x$

Bước 2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\csc (3 y) = x + 1$

Bước 2.3

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ bên trong cosecant.

$3 y = arccsc (x + 1)$

Bước 2.4

Chia mỗi số hạng trong $3 y = arccsc (x + 1)$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y = arccsc (x + 1)$ cho $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y}{3} = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Bước 2.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$ có là hàm ngược của $f (x) = \csc (3 x) - 1$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\csc (3 x) - 1)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc ((\csc (3 x) - 1) + 1)}{3}$

Bước 4.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\csc (3 x) - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc (\csc (3 x) + 0)}{3}$

Bước 4.2.3.2

Cộng $\csc (3 x)$ và $0$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc (\csc (3 x))}{3}$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{arccsc (x + 1)}{3})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (3 (\frac{arccsc (x + 1)}{3})) - 1$

Bước 4.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (3 (\frac{arccsc (x + 1)}{3})) - 1$

Bước 4.3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (arccsc (x + 1)) - 1$

Bước 4.3.3.2

Hàm cosecant và arccosecant là nghịch đảo.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x + 1 - 1$

Bước 4.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x + 0$

Bước 4.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$ là hàm ngược của $f (x) = \csc (3 x) - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$