Lượng giác Ví dụ

$y - 1 = \tan^{2} (x)$

Bước 1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \tan^{2} (x) + 1$

Bước 1.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$y = \sec^{2} (x)$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \sec^{2} (y)$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sec^{2} (y) = x$ .

$\sec^{2} (y) = x$

Bước 3.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sec (y) = \pm \sqrt{x}$

Bước 3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\sec (y) = \sqrt{x}$

Bước 3.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\sec (y) = - \sqrt{x}$

Bước 3.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\sec (y) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$

Bước 3.4

Lập từng đáp án để giải tìm $y$ .

$\sec (y) = \sqrt{x}$

$\sec (y) = - \sqrt{x}$

Bước 3.5

Giải tìm $y$ trong $\sec (y) = \sqrt{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Lấy secant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ bên trong secant.

$y = arcsec (\sqrt{x})$

Bước 3.6

Giải tìm $y$ trong $\sec (y) = - \sqrt{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Lấy secant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ bên trong secant.

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

Bước 3.7

Liệt kê tất cả các đáp án.

$y = arcsec (\sqrt{x})$

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

$y = arcsec (\sqrt{x})$

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ có là hàm ngược của $f (x) = \sec^{2} (x)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = \sec^{2} (x)$ và $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ rồi so sánh.

Bước 5.2

Tìm miền giá trị của $f (x) = \sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[1, \infty)$

Bước 5.3

Tìm tập xác định của $arcsec (\sqrt{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x \geq 0$

Bước 5.3.2

Đặt đối số trong $arcsec (\sqrt{x})$ nhỏ hơn hoặc bằng $- 1$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\sqrt{x} \leq - 1$

Bước 5.3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${\sqrt{x}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Bước 5.3.3.2

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Bước 5.3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.2.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Bước 5.3.3.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Bước 5.3.3.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

Bước 5.3.3.2.2.1.2

Rút gọn.

$x \leq {(- 1)}^{2}$

Bước 5.3.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.3.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x \leq 1$

Bước 5.3.3.3

Tìm tập xác định của $\sqrt{x} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x \geq 0$

Bước 5.3.3.3.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[0, \infty)$

Bước 5.3.3.4

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Bước 5.3.3.5

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 5.3.3.5.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sqrt{- 2} \leq - 1$

Bước 5.3.3.5.1.3

Vế trái không bằng vế phải, điều đó có nghĩa là câu đã cho là sai.

Sai

Bước 5.3.3.5.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0.5$

Bước 5.3.3.5.2.2

Thay thế $x$ bằng $0.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sqrt{0.5} \leq - 1$

Bước 5.3.3.5.2.3

Vế trái $0.70710678$ lớn hơn vế phải $- 1$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 5.3.3.5.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 5.3.3.5.3.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sqrt{4} \leq - 1$

Bước 5.3.3.5.3.3

Vế trái $2$ lớn hơn vế phải $- 1$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 5.3.3.5.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 0$ Sai

$0 < x < 1$ Sai

$x > 1$ Sai

$x < 0$ Sai

$0 < x < 1$ Sai

$x > 1$ Sai

Bước 5.3.3.6

Vì không có số nào nằm trong khoảng, bất đẳng thức này không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 5.3.4

Đặt đối số trong $arcsec (\sqrt{x})$ lớn hơn hoặc bằng $1$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\sqrt{x} \geq 1$

Bước 5.3.5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${\sqrt{x}}^{2} \geq 1^{2}$

Bước 5.3.5.2

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Bước 5.3.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.2.2.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Bước 5.3.5.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Bước 5.3.5.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} \geq 1^{2}$

Bước 5.3.5.2.2.1.2

Rút gọn.

$x \geq 1^{2}$

Bước 5.3.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x \geq 1$

Bước 5.3.5.3

Tìm tập xác định của $\sqrt{x} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.3.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x \geq 0$

Bước 5.3.5.3.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[0, \infty)$

Bước 5.3.5.4

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \geq 1$

Bước 5.3.6

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[0, \infty)$

Bước 5.4

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ không bằng khoảng biến thiên của $f (x) = \sec^{2} (x)$ , nên $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ không phải là hàm ngược của $f (x) = \sec^{2} (x)$ .

Không có hàm ngược

Bước 6