Lượng giác Ví dụ

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2} = {(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{x}$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng ${(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{x} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{x} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2}$

Bước 2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln ({(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{x}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i})}^{x}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.2

Khai triển $\ln ({(\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i})}^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.3

Nhân tử số và mẫu số của $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i}$ với liên hợp của $1 - i$ để biến mẫu số thành số thực.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}}}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2^{\frac{1}{2}} i}{(1 - i) (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4.2.2

Nhân $2^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} i}{(1 - i) (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4.2.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $2^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} i$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{(1 - i) (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Khai triển $(1 - i) (1 + i)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 (1 + i) - i (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1

Nhân $1$ với $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4.3.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - i i}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4.3.2.3

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4.3.2.4

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4.3.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4.3.2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1 i - i - i^{2}}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4.3.2.7

Trừ $i$ khỏi $1 i$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 0 - i^{2}}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4.3.2.8

Cộng $1$ và $0$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 - i^{2}}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.3.1

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 - - 1}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4.3.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1 + 1}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.4.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 3.5

Viết lại $\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$ ở dạng $\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)$ .

$x (\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)) = \ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$

Bước 4

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $\ln (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}{2})$ ở dạng $\ln (\sqrt{2} - \sqrt{2} i) - \ln (2)$ .

$x (\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)) = \ln (\sqrt{2} - \sqrt{2} i) - \ln (2)$

Bước 4.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)) = \ln (2^{\frac{1}{2}} - \sqrt{2} i) - \ln (2)$

Bước 4.3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\ln (2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - \ln (2)) = \ln (2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i) - \ln (2)$

Bước 5

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i) - \ln (2)$

Bước 6

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn $\ln (2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i) - \ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i}{2})$

Bước 6.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} i}{2})$ .

$x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}) = \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$ cho $\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

$\frac{x \ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})} = \frac{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 7.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} - i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}{\ln (\frac{2^{\frac{1}{2}} + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2})}$