Lượng giác Ví dụ

$\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Sắp xếp lại $\cos (x)$ và $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Bước 1.1.1.2

Viết lại $\cos (x) \tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Bước 1.1.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\sin (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Bước 1.1.2

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Bước 2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 3

Nhân cả hai vế của phương trình với $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 5

Nhân $\sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 5.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 5.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 6

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 6.2

Viết lại biểu thức.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 7

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 7.2

Viết lại biểu thức.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = 1$

Bước 8

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Bước 9

Rút gọn $\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển $- 1$ .

$\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x) = 0$

Bước 9.2

Sắp xếp lại $\sin^{2} (x)$ và $- 1$ .

$- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Bước 9.3

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Bước 9.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sin^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Bước 9.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Bước 9.6

Viết lại $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ ở dạng $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Bước 9.7

Áp dụng đẳng thức pytago.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Bước 10

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Giả sử $u = \cos (x)$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $\cos (x)$ .

$- u^{2} + u = 0$

Bước 10.1.2

Đưa $u$ ra ngoài $- u^{2} + u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.2.1

Đưa $u$ ra ngoài $- u^{2}$ .

$u (- u) + u = 0$

Bước 10.1.2.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$u (- u) + u = 0$

Bước 10.1.2.3

Đưa $u$ ra ngoài $u^{1}$ .

$u (- u) + u \cdot 1 = 0$

Bước 10.1.2.4

Đưa $u$ ra ngoài $u (- u) + u \cdot 1$ .

$u (- u + 1) = 0$

Bước 10.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$

Bước 10.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \cos (x) + 1 = 0$

Bước 10.3

Đặt $\cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Đặt $\cos (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) = 0$

Bước 10.3.2

Giải $\cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 10.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 10.3.2.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 10.3.2.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 10.3.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 10.3.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 10.3.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 10.3.2.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 10.3.2.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 10.3.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 10.3.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 10.3.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 10.3.2.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10.4

Đặt $- \cos (x) + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Đặt $- \cos (x) + 1$ bằng với $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Bước 10.4.2

Giải $- \cos (x) + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \cos (x) = - 1$

Bước 10.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (x) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (x) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 10.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 10.4.2.2.2.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 10.4.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Bước 10.4.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (1)$

Bước 10.4.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (1)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 10.4.2.5

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - 0$

Bước 10.4.2.6

Trừ $0$ khỏi $2 π$ .

$x = 2 π$

Bước 10.4.2.7

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 10.4.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 10.4.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 10.4.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 10.4.2.8

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 11

Hợp nhất các câu trả lời.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hợp nhất $\frac{π}{2} + 2 π n$ và $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ để $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 11.2

Hợp nhất $2 π n$ và $2 π + 2 π n$ để $2 π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 12

Loại bỏ đáp án không làm cho $\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$ đúng.

$x = 1.57079632, 4.71238898, 6.2831853, 7.85398163, 10.99557428, 12.56637061, 14.13716694, 17.27875959, 18.84955592, 20.42035224, 23.5619449, 25.13274122, 31.41592653, 37.69911184, 43.98229715$ , cho mọi số nguyên $n$