Lượng giác Ví dụ

$\cot (2 x) = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Bước 1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\cot (2 x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Bước 2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cot^{2} (x) - 1^{2}}{2 \cot (x)}$

Bước 2.1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \cot (x)$ và $b = 1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)}$

Bước 2.1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)}$

Bước 2.1.1.3.2

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{2 \cot (x)}$

Bước 2.1.2

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Bước 2.1.3

Kết hợp $2$ và $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}}$

Bước 2.1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.5

Khai triển $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) + 1 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1.1

Nhân $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1.1.1

Nhân $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ với $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.6.1.1.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.6.1.1.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.6.1.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.6.1.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.6.1.1.6

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.6.1.1.7

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.6.1.1.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.6.1.1.9

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.6.1.2

Kết hợp $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ và $- 1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot - 1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.6.1.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 1 \cdot \cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.6.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.6.1.5

Nhân $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ với $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.6.1.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.6.2

Cộng $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ và $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 0 - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.6.3

Cộng $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ và $0$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.7.2

Kết hợp.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.7.3

Viết lại $- 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ ở dạng $- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.1

Triệt tiêu thừa số chung của $\cos^{2} (x)$ và $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.1.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.8.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.1.2.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x) (2 \cos (x))$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\cos (x) (\sin^{2} (x) \cdot (2))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.8.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\cos (x) (\sin^{2} (x) \cdot (2))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.8.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) \cdot (2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.8.2

Triệt tiêu thừa số chung của $\sin (x)$ và $\sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.2.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cdot (2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.8.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.2.2.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x) \cdot (2)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (\sin (x) \cdot 2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (\sin (x) \cdot 2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.8.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x) \cdot 2} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 2.1.8.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 3

Nhân cả hai vế của phương trình với $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Bước 4

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (2 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Bước 4.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (2 x) = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Bước 5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (2 x) = \sin (2 x) \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Bước 6

Kết hợp $\sin (2 x)$ và $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Bước 7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 8.1.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 8.1.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 8.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 8.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 8.2.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (2 x) = \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 8.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (2 x) = \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 8.3.2

Chia $\cos^{2} (x)$ cho $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 8.4

Kết hợp $\frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ và $\sin (2 x)$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \sin (2 x)}{2 \cos (x)}$

Bước 8.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 8.5.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.2.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 8.5.2.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 8.5.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 8.5.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 8.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Bước 8.6.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Bước 8.7

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Bước 8.7.2

Chia $\sin^{2} (x)$ cho $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Bước 9

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho cosin.

$\cos (2 x) = \cos (2 x)$

Bước 10

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $\cos (2 x)$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Trừ $\cos (2 x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\cos (2 x) - \cos (2 x) = 0$

Bước 10.2

Trừ $\cos (2 x)$ khỏi $\cos (2 x)$ .

$0 = 0$

Bước 11

Vì $0 = 0$ , phương trình luôn đúng cho bất kỳ giá trị nào của $x$ .

Tất cả các số thực

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Tất cả các số thực

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$