Lượng giác Ví dụ

$y = \frac{1}{1 - \sin (x)}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{1}{1 - \sin (y)}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ .

$\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$

Bước 2.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1 - \sin (y), 1$

Bước 2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$1 - \sin (y), 1$

Bước 2.2.3

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$1 - \sin (y)$

Bước 2.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ với $1 - \sin (y)$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ với $1 - \sin (y)$ .

$\frac{1}{1 - \sin (y)} (1 - \sin (y)) = x (1 - \sin (y))$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - \sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 - \sin (y)} (1 - \sin (y)) = x (1 - \sin (y))$

Bước 2.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 = x (1 - \sin (y))$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = x \cdot 1 + x (- \sin (y))$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Nhân $x$ với $1$ .

$1 = x + x (- \sin (y))$

Bước 2.3.3.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$1 = x - x \sin (y)$

Bước 2.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $x - x \sin (y) = 1$ .

$x - x \sin (y) = 1$

Bước 2.4.2

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x \sin (y) = 1 - x$

Bước 2.4.3

Chia mỗi số hạng trong $- x \sin (y) = 1 - x$ cho $- x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \sin (y) = 1 - x$ cho $- x$ .

$\frac{- x \sin (y)}{- x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Bước 2.4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x \sin (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Bước 2.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \sin (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Bước 2.4.3.2.2.2

Chia $\sin (y)$ cho $1$ .

$\sin (y) = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Bước 2.4.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.3.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\sin (y) = \frac{- 1 (- 1)}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Bước 2.4.3.3.1.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{- x}{- x}$

Bước 2.4.3.3.1.2

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Bước 2.4.3.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Bước 2.4.3.3.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + 1$

Bước 2.5

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm sin.

$y = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{1 - \sin (x)}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- \frac{1}{\frac{1}{1 - \sin (x)}} + 1)$

Bước 4.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- (1 (1 - \sin (x))) + 1)$

Bước 4.2.3.2

Nhân $1 - \sin (x)$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- (1 - \sin (x)) + 1)$

Bước 4.2.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 \cdot 1 + \sin (x) + 1)$

Bước 4.2.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + \sin (x) + 1)$

Bước 4.2.3.5

Nhân $- - \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + 1 \sin (x) + 1)$

Bước 4.2.3.5.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + \sin (x) + 1)$

Bước 4.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 1 + \sin (x) + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (0 + \sin (x))$

Bước 4.2.4.2

Cộng $0$ và $\sin (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (\sin (x))$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1))$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - \sin (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1))}$

Bước 4.3.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Hàm sin và arcsin là nghịch đảo.

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - (- \frac{1}{x} + 1)}$

Bước 4.3.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

Bước 4.3.3.3

Nhân $- - \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{x}) - 1 \cdot 1}$

Bước 4.3.3.3.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

Bước 4.3.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1}$

Bước 4.3.3.5

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Bước 4.3.3.6

Cộng $\frac{1}{x}$ và $0$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Bước 4.3.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = 1 x$

Bước 4.3.5

Nhân $x$ với $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{1 - \sin (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$