Lượng giác Ví dụ

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x + 54 y - 29 = 0$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $29$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x + 54 y = 29$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $4 x^{2} - 16 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Bước 1.2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 8}{4}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Bước 1.2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Bước 1.2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 2}{1}$

Bước 1.2.3.2.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$d = - 2$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Nâng $- 16$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Chia $256$ cho $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Bước 1.2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $16$ .

$e = 0 - 16$

Bước 1.2.4.2.2

Trừ $16$ khỏi $0$ .

$e = - 16$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Bước 1.3

Thay $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ cho $4 x^{2} - 16 x$ trong phương trình $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x + 54 y = 29$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 - 9 y^{2} + 54 y = 29$

Bước 1.4

Di chuyển $- 16$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $16$ vào cả hai vế.

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 y^{2} + 54 y = 29 + 16$

Bước 1.5

Hoàn thành bình phương cho $- 9 y^{2} + 54 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 9$

$b = 54$

$c = 0$

Bước 1.5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot - 9}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $54$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot - 9}$

Bước 1.5.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (- 9)}$

Bước 1.5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot - 9}$

Bước 1.5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{27}{- 9}$

Bước 1.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $27$ và $- 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$d = \frac{9 (3)}{- 9}$

Bước 1.5.3.2.2.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Bước 1.5.3.2.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$d = - 3$

Bước 1.5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot - 9}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Nâng $54$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot - 9}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{- 36}$

Bước 1.5.4.2.1.3

Chia $2916$ cho $- 36$ .

$e = 0 - - 81$

Bước 1.5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 81$ .

$e = 0 + 81$

Bước 1.5.4.2.2

Cộng $0$ và $81$ .

$e = 81$

Bước 1.5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 9 {(y - 3)}^{2} + 81$ .

$- 9 {(y - 3)}^{2} + 81$

Bước 1.6

Thay $- 9 {(y - 3)}^{2} + 81$ cho $- 9 y^{2} + 54 y$ trong phương trình $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x + 54 y = 29$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 3)}^{2} + 81 = 29 + 16$

Bước 1.7

Di chuyển $81$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $81$ vào cả hai vế.

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 3)}^{2} = 29 + 16 - 81$

Bước 1.8

Rút gọn $29 + 16 - 81$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Cộng $29$ và $16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 3)}^{2} = 45 - 81$

Bước 1.8.2

Trừ $81$ khỏi $45$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 3)}^{2} = - 36$

Bước 1.9

Đổi dấu mỗi số hạng của phương trình để cho số hạng ở vế phải dương.

$- 4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = 36$

Bước 1.10

Chia mỗi số hạng cho $36$ để làm cho vế phải bằng một.

$- \frac{4 {(x - 2)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y - 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Bước 1.11

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = 3$

$h = 2$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(2, 3)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{4 + {(3)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{4 + 9}$

Bước 5.3.3

Cộng $4$ và $9$ .

$\sqrt{13}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $k$ .

$(h, k + a)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(2, 5)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $k$ .

$(h, k - a)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(2, 1)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h, k \pm a)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(2, 5), (2, 1)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $k$ .

$(h, k + c)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(2, 3 + \sqrt{13})$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $k$ .

$(h, k - c)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(2, 3 - \sqrt{13})$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(2, 3 + \sqrt{13}), (2, 3 - \sqrt{13})$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}}{2}$

Bước 8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 3^{2}}}{2}$

Bước 8.3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 9}}{2}$

Bước 8.3.3

Cộng $4$ và $9$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{13}}$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}}$

Bước 9.3.2

Nhân $\frac{9}{\sqrt{13}}$ với $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Bước 9.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Nhân $\frac{9}{\sqrt{13}}$ với $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Bước 9.3.3.2

Nâng $\sqrt{13}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Bước 9.3.3.3

Nâng $\sqrt{13}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Bước 9.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Bước 9.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Bước 9.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{13}}^{2}$ ở dạng $13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{13}$ ở dạng $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 9.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Bước 9.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ vì hyperbol quay mặt lõm lên trên và xuống dưới.

$y = \pm \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$

Bước 11

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$

Bước 11.2

Rút gọn $\frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 2) + 3$

Bước 11.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 2 + 3$

Bước 11.2.1.3

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 2 + 3$

Bước 11.2.1.4

Nhân $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.4.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{3} + 3$

Bước 11.2.1.4.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4}{3} + 3$

Bước 11.2.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + 3$

Bước 11.2.2

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 11.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Bước 11.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 3 \cdot 3}{3}$

Bước 11.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.5.1

Nhân $3$ với $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 9}{3}$

Bước 11.2.5.2

Cộng $- 4$ và $9$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}$

Bước 12

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$

Bước 12.2

Rút gọn $- \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - 2) + 3$

Bước 12.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot - 2 + 3$

Bước 12.2.1.3

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot - 2 + 3$

Bước 12.2.1.4

Nhân $- \frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.4.1

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + 2 (\frac{2}{3}) + 3$

Bước 12.2.1.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{2 \cdot 2}{3} + 3$

Bước 12.2.1.4.3

Nhân $2$ với $2$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{4}{3} + 3$

Bước 12.2.1.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + 3$

Bước 12.2.2

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 12.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Bước 12.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 + 3 \cdot 3}{3}$

Bước 12.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.1

Nhân $3$ với $3$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 + 9}{3}$

Bước 12.2.5.2

Cộng $4$ và $9$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{13}{3}$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}, y = - \frac{2 x}{3} + \frac{13}{3}$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(2, 3)$

Các đỉnh: $(2, 5), (2, 1)$

Tiêu điểm: $(2, 3 + \sqrt{13}), (2, 3 - \sqrt{13})$

Tâm sai: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Tham số tiêu: $\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Các đường tiệm cận: $y = \frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}$ , $y = - \frac{2 x}{3} + \frac{13}{3}$

Bước 15