Lượng giác Ví dụ

$a = 8$ , $c = 13$ , $B = 150$

Bước 1

Sử dụng định lý cosin để tìm cạnh chưa biết của tam giác, bằng hai cạnh còn lại và góc được bao gồm.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Bước 2

Giải phương trình.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

Bước 3

Thay các giá trị đã biết vào phương trình.

$b = \sqrt{{(8)}^{2} + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 13 \cos (150)}$

Bước 4

Rút gọn các kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$b = \sqrt{64 + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

Bước 4.2

Nâng $13$ lên lũy thừa $2$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

Bước 4.3

Nhân $- 2 \cdot 8 \cdot 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $- 2$ với $8$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 16 \cdot (13 \cos (150))}$

Bước 4.3.2

Nhân $- 16$ với $13$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \cos (150)}$

Bước 4.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \cos (30))}$

Bước 4.5

Giá trị chính xác của $\cos (30)$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Bước 4.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ vào tử số.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Bước 4.6.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 208$ .

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 (- 104) (\frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Bước 4.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 \cdot (- 104 \frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Bước 4.6.4

Viết lại biểu thức.

$b = \sqrt{64 + 169 - 104 (- \sqrt{3})}$

Bước 4.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $- 1$ với $- 104$ .

$b = \sqrt{64 + 169 + 104 \sqrt{3}}$

Bước 4.7.2

Cộng $64$ và $169$ .

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

Bước 5

Quy luật của sin dựa trên tỉ lệ của các cạnh và góc trong hình tam giác. Quy luật nói rằng đối với các góc của một tam giác không phải tam giác vuông, mỗi góc của tam giác có cùng tỉ lệ của số đo góc với giá trị sin.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Bước 6

Thay các giá trị đã biết vào định luật của sin để tìm $A$ .

$\frac{\sin (A)}{8} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Bước 7

Giải phương trình để tìm $A$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $8$ .

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Bước 7.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Bước 7.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Rút gọn $8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (30)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Bước 7.2.2.1.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (30)$ là $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Bước 7.2.2.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\sin (A) = 8 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

Bước 7.2.2.1.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Bước 7.2.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Bước 7.2.2.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 (\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}})}$

Bước 7.2.2.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (A) = 2 \cdot 4 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Bước 7.2.2.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$\sin (A) = 4 \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Bước 7.2.2.1.5

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Bước 7.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $A$ từ trong hàm sin.

$A = \arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

Bước 7.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Tính $\arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$ .

$A = 11.34962381$

Bước 7.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $180$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$A = 180 - 11.34962381$

Bước 7.6

Trừ $11.34962381$ khỏi $180$ .

$A = 168.65037618$

Bước 7.7

Đáp án của phương trình $A = 11.34962381$ .

$A = 11.34962381, 168.65037618$

Bước 7.8

Loại trừ tam giác không hợp lệ.

$A = 11.34962381$

Bước 8

Tổng của tất cả các góc trong một tam giác là $180$ độ.

$11.34962381 + C + 150 = 180$

Bước 9

Giải phương trình để tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $11.34962381$ và $150$ .

$C + 161.34962381 = 180$

Bước 9.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Trừ $161.34962381$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 180 - 161.34962381$

Bước 9.2.2

Trừ $161.34962381$ khỏi $180$ .

$C = 18.65037618$

Bước 10

Đây là kết quả cho tất cả các góc và cạnh của tam giác đã cho.

$A = 11.34962381$

$B = 150$

$C = 18.65037618$

$a = 8$

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

$c = 13$