Lượng giác Ví dụ

$\sin (2 u)$

Bước 1

Một phương pháp tốt để khai triển $\sin (2 u)$ là sử dụng định lý De Moivre $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Khi $r = 1$ , thì $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Bước 2

Khai triển vế phải của $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ bằng cách sử dụng định lý nhị thức.

Khai triển: ${(\cos (u) + i \cdot \sin (u))}^{2}$

Bước 3

Viết lại ${(\cos (u) + i \sin (u))}^{2}$ ở dạng $(\cos (u) + i \sin (u)) (\cos (u) + i \sin (u))$ .

$(\cos (u) + i \sin (u)) (\cos (u) + i \sin (u))$

Bước 4

Khai triển $(\cos (u) + i \sin (u)) (\cos (u) + i \sin (u))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (u) (\cos (u) + i \sin (u)) + i \sin (u) (\cos (u) + i \sin (u))$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (u) \cos (u) + \cos (u) (i \sin (u)) + i \sin (u) (\cos (u) + i \sin (u))$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (u) \cos (u) + \cos (u) (i \sin (u)) + i \sin (u) \cos (u) + i \sin (u) (i \sin (u))$

Bước 5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $\cos (u) \cos (u)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Nâng $\cos (u)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{1} (u) \cos (u) + \cos (u) (i \sin (u)) + i \sin (u) \cos (u) + i \sin (u) (i \sin (u))$

Bước 5.1.1.2

Nâng $\cos (u)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{1} (u) \cos^{1} (u) + \cos (u) (i \sin (u)) + i \sin (u) \cos (u) + i \sin (u) (i \sin (u))$

Bước 5.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\cos (u)}^{1 + 1} + \cos (u) (i \sin (u)) + i \sin (u) \cos (u) + i \sin (u) (i \sin (u))$

Bước 5.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (u) + \cos (u) (i \sin (u)) + i \sin (u) \cos (u) + i \sin (u) (i \sin (u))$

Bước 5.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i \sin (u) (i \sin (u))$

Bước 5.1.3

Nhân $i \sin (u) (i \sin (u))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i^{1} i \sin (u) \sin (u)$

Bước 5.1.3.2

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i^{1} i^{1} \sin (u) \sin (u)$

Bước 5.1.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i^{1 + 1} \sin (u) \sin (u)$

Bước 5.1.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i^{2} \sin (u) \sin (u)$

Bước 5.1.3.5

Nâng $\sin (u)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i^{2} (\sin^{1} (u) \sin (u))$

Bước 5.1.3.6

Nâng $\sin (u)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i^{2} (\sin^{1} (u) \sin^{1} (u))$

Bước 5.1.3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i^{2} {\sin (u)}^{1 + 1}$

Bước 5.1.3.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) + i^{2} \sin^{2} (u)$

Bước 5.1.4

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) - 1 \sin^{2} (u)$

Bước 5.1.5

Viết lại $- 1 \sin^{2} (u)$ ở dạng $- \sin^{2} (u)$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \sin (u) \cos (u) - \sin^{2} (u)$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $i \sin (u) \cos (u)$ .

$\cos^{2} (u) + i \cos (u) \sin (u) + i \cos (u) \sin (u) - \sin^{2} (u)$

Bước 5.3

Cộng $i \cos (u) \sin (u)$ và $i \cos (u) \sin (u)$ .

$\cos^{2} (u) + 2 i \cos (u) \sin (u) - \sin^{2} (u)$

Bước 6

Di chuyển $- \sin^{2} (u)$ .

$\cos^{2} (u) - \sin^{2} (u) + 2 i \cos (u) \sin (u)$

Bước 7

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho cosin.

$\cos (2 u) + 2 i \cos (u) \sin (u)$

Bước 8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\cos (2 u) + 2 i (\cos (u) \sin (u))$

Bước 8.2

Sắp xếp lại $2 i$ và $\cos (u) \sin (u)$ .

$\cos (2 u) + \cos (u) \sin (u) (2 i)$

Bước 8.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\cos (2 u) + \cos (u) (\sin (u) \cdot 2) i$

Bước 8.4

Sắp xếp lại $\cos (u)$ và $\sin (u) \cdot 2$ .

$\cos (2 u) + \sin (u) \cdot 2 \cos (u) i$

Bước 8.5

Sắp xếp lại $\sin (u)$ và $2$ .

$\cos (2 u) + 2 \cdot \sin (u) \cos (u) i$

Bước 8.6

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\cos (2 u) + \sin (2 u) i$

Bước 9

Sắp xếp lại các thừa số trong $\cos (2 u) + \sin (2 u) i$ .

$\cos (2 u) + i \sin (2 u)$

Bước 10

Di chuyển các biểu thức có phần ảo bằng $\sin (2 u)$ ra ngoài. Loại bỏ số ảo $i$ .

$\sin (2 u) = 2 \sin (u) \cos (u)$