Lượng giác Ví dụ

$\sin (5 x)$

Bước 1

Một phương pháp tốt để khai triển $\sin (5 x)$ là sử dụng định lý De Moivre $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Khi $r = 1$ , thì $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Bước 2

Khai triển vế phải của $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ bằng cách sử dụng định lý nhị thức.

Khai triển: ${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{5}$

Bước 3

Sử dụng định lý nhị thức.

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) (i \sin (x)) + 10 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{2} + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

Bước 4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $i \sin (x)$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) + 10 \cos^{3} (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

Bước 4.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) + 10 \cdot i^{2} \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

Bước 4.1.3

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) + 10 \cdot - 1 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

Bước 4.1.4

Nhân $10$ với $- 1$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

Bước 4.1.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $i \sin (x)$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) (i^{3} \sin^{3} (x)) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

Bước 4.1.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cdot i^{3} \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

Bước 4.1.7

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cdot (i^{2} \cdot i) \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

Bước 4.1.8

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cdot (- 1 \cdot i) \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

Bước 4.1.9

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cdot (- i) \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

Bước 4.1.10

Nhân $- 1$ với $10$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

Bước 4.1.11

Áp dụng quy tắc tích số cho $i \sin (x)$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) (i^{4} \sin^{4} (x)) + {(i \sin (x))}^{5}$

Bước 4.1.12

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.12.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) ({(i^{2})}^{2} \sin^{4} (x)) + {(i \sin (x))}^{5}$

Bước 4.1.12.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) ({(- 1)}^{2} \sin^{4} (x)) + {(i \sin (x))}^{5}$

Bước 4.1.12.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) (1 \sin^{4} (x)) + {(i \sin (x))}^{5}$

Bước 4.1.13

Nhân $\sin^{4} (x)$ với $1$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + {(i \sin (x))}^{5}$

Bước 4.1.14

Áp dụng quy tắc tích số cho $i \sin (x)$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i^{5} \sin^{5} (x)$

Bước 4.1.15

Đưa $i^{4}$ ra ngoài.

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i^{4} i \sin^{5} (x)$

Bước 4.1.16

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.16.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + {(i^{2})}^{2} i \sin^{5} (x)$

Bước 4.1.16.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + {(- 1)}^{2} i \sin^{5} (x)$

Bước 4.1.16.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + 1 i \sin^{5} (x)$

Bước 4.1.17

Nhân $i$ với $1$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i \sin^{5} (x)$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i \sin^{5} (x)$ .

$\cos^{5} (x) + 5 i \cos^{4} (x) \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i \sin^{5} (x)$

Bước 5

Di chuyển các biểu thức có phần ảo bằng $\sin (5 x)$ ra ngoài. Loại bỏ số ảo $i$ .

$\sin (5 x) = 5 \cos^{4} (x) \sin (x) - 10 \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + \sin^{5} (x)$