Lượng giác Ví dụ

${(- 1 + i)}^{5}$

Bước 1

Sử dụng định lý nhị thức.

${(- 1)}^{5} + 5 {(- 1)}^{4} i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $5$ .

$- 1 + 5 {(- 1)}^{4} i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$- 1 + 5 \cdot 1 i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.3

Nhân $5$ với $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$- 1 + 5 i + 10 \cdot - 1 i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.5

Nhân $10$ với $- 1$ .

$- 1 + 5 i - 10 i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.6

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$- 1 + 5 i - 10 \cdot - 1 + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.7

Nhân $- 10$ với $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.9

Nhân $10$ với $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.10

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$- 1 + 5 i + 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.11

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.12

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 (- i) + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.13

Nhân $- 1$ với $10$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.14

Nhân $5$ với $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 i^{4} + i^{5}$

Bước 2.1.15

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.15.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

Bước 2.1.15.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}$

Bước 2.1.15.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 \cdot 1 + i^{5}$

Bước 2.1.16

Nhân $- 5$ với $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + i^{5}$

Bước 2.1.17

Đưa $i^{4}$ ra ngoài.

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + i^{4} i$

Bước 2.1.18

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.18.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + {(i^{2})}^{2} i$

Bước 2.1.18.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + {(- 1)}^{2} i$

Bước 2.1.18.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + 1 i$

Bước 2.1.19

Nhân $i$ với $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + i$

Bước 2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Cộng $- 1$ và $10$ .

$9 + 5 i - 10 i - 5 + i$

Bước 2.2.2

Trừ $5$ khỏi $9$ .

$4 + 5 i - 10 i + i$

Bước 2.2.3

Trừ $10 i$ khỏi $5 i$ .

$4 - 5 i + i$

Bước 2.2.4

Cộng $- 5 i$ và $i$ .

$4 - 4 i$

Bước 3

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 4

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 5

Thay các giá trị thực tế của $a = 4$ và $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 4^{2}}$

Bước 6

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 4^{2}}$

Bước 6.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

Bước 6.3

Cộng $16$ và $16$ .

$| z | = \sqrt{32}$

Bước 6.4

Viết lại $32$ ở dạng $4^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đưa $16$ ra ngoài $32$ .

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

Bước 6.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Bước 6.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| z | = 4 \sqrt{2}$

Bước 7

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{4})$

Bước 8

Vì tang nghịch đảo của $\frac{- 4}{4}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ tư, giá trị của góc là $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Bước 9

Thay các giá trị của $θ = - \frac{π}{4}$ và $| z | = 4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$