Lượng giác Ví dụ

$- 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i - 4 \sqrt{3}$

Bước 1

Sắp xếp lại $- 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i$ và $- 4 \sqrt{3}$ .

$- 4 \sqrt{3} - 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i$

Bước 2

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 3

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế của $a = - 4 \sqrt{3}$ và $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 5

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 5.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 4 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 5.1.3

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 5.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Bước 5.2.5

Tính số mũ.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Bước 5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $16$ với $3$ .

$| z | = \sqrt{16 + 48}$

Bước 5.3.2

Cộng $16$ và $48$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Bước 5.3.3

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Bước 5.3.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 8$

Bước 6

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}})$

Bước 7

Vì tang nghịch đảo của $\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ ba, giá trị của góc là $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Bước 8

Thay các giá trị của $θ = \frac{7 π}{6}$ và $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))$