Lượng giác Ví dụ

$f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$

Bước 1

Viết $f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$ ở dạng một phương trình.

$y = \sqrt[3]{4 x - 1}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \sqrt[3]{4 y - 1}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt[3]{4 y - 1} = x$ .

$\sqrt[3]{4 y - 1} = x$

Bước 3.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${\sqrt[3]{4 y - 1}}^{3} = x^{3}$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{4 y - 1}$ ở dạng ${(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn ${({(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Bước 3.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(4 y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Bước 3.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(4 y - 1)}^{1} = x^{3}$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn.

$4 y - 1 = x^{3}$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 y = x^{3} + 1$

Bước 3.4.2

Chia mỗi số hạng trong $4 y = x^{3} + 1$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 y = x^{3} + 1$ cho $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Bước 3.4.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$ có là hàm ngược của $f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{4 x - 1})}^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Bước 5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{4 x - 1})}^{3} + 1}{4}$

Bước 5.2.4

Viết lại ${\sqrt[3]{4 x - 1}}^{3}$ ở dạng $4 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{4 x - 1}$ ở dạng ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{({(4 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 1}{4}$

Bước 5.2.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 1}{4}$

Bước 5.2.4.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + 1}{4}$

Bước 5.2.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + 1}{4}$

Bước 5.2.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{(4 x - 1) + 1}{4}$

Bước 5.2.4.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

Bước 5.2.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $4 x - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Bước 5.2.5.1.2

Cộng $4 x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Bước 5.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Bước 5.2.5.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) - 1}$

Bước 5.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4}) + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4}) + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Bước 5.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Bước 5.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Bước 5.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 1 - 1}$

Bước 5.3.6

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Bước 5.3.6.2

Cộng $x^{3}$ và $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Bước 5.3.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$ là hàm ngược của $f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$