Lượng giác Ví dụ

$\sin (\frac{x}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$\frac{x}{3} < \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ là $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} < \frac{π}{3}$

Bước 3

Vì biểu thức trên mỗi vế của phương trình có mẫu số giống nhau, nên tử số phải bằng nhau.

$x < π$

Bước 4

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{3}$

Bước 5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Bước 5.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Bước 5.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = 3 (π - \frac{π}{3})$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn $3 (π - \frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Bước 5.2.2.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Bước 5.2.2.1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Bước 5.2.2.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Bước 5.2.2.1.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$x = π \cdot 3 - π$

Bước 5.2.2.1.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = 3 π - π$

Bước 5.2.2.1.4

Trừ $π$ khỏi $3 π$ .

$x = 2 π$

Bước 6

Tìm chu kỳ của $\sin (\frac{x}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.2

Thay thế $b$ với $\frac{1}{3}$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Bước 6.3

$\frac{1}{3}$ xấp xỉ $0.\overline{3}$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Bước 6.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 π \cdot 3$

Bước 6.5

Nhân $3$ với $2$ .

$6 π$

Bước 7

Chu kỳ của hàm $\sin (\frac{x}{3})$ là $6 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $6 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = π + 6 π n, 2 π + 6 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 7 π$

$7 π < x < 8 π$

Bước 9

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $π < x < 2 π$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $π < x < 2 π$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 5$

Bước 9.1.2

Thay thế $x$ bằng $5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sin (\frac{5}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 9.1.3

Vế trái $0.99540795$ không nhỏ hơn vế phải $0.8660254$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 9.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $2 π < x < 7 π$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $2 π < x < 7 π$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 9$

Bước 9.2.2

Thay thế $x$ bằng $9$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sin (\frac{9}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 9.2.3

Vế trái $0.14112$ nhỏ hơn vế phải $0.8660254$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 9.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $7 π < x < 8 π$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $7 π < x < 8 π$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 24$

Bước 9.3.2

Thay thế $x$ bằng $24$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sin (\frac{24}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 9.3.3

Vế trái $0.98935824$ không nhỏ hơn vế phải $0.8660254$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 9.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$π < x < 2 π$ Sai

$2 π < x < 7 π$ Đúng

$7 π < x < 8 π$ Sai

$π < x < 2 π$ Sai

$2 π < x < 7 π$ Đúng

$7 π < x < 8 π$ Sai

Bước 10

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$2 π + 6 π n < x < 7 π + 6 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 11

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(2 π + 6 π n, 7 π + 6 π n)$

Bước 12