Lượng giác Ví dụ

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1} = 1$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1}$

Bước 2

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}$

Bước 3.1.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)}}$

Bước 3.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + 1 \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Bước 3.1.3

Nhân $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ với $1$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Bước 3.2

Để viết $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Bước 3.3

Để viết $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$

Bước 3.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ với $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$

Bước 3.4.2

Nhân $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ với $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Bước 3.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)} + \frac{\sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Bước 3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Bước 3.6.2

Nhân $\sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Bước 3.6.2.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Bước 3.6.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Bước 3.6.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Bước 3.6.3

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Bước 3.6.4

Cộng $\sin (x)$ và $\sin (x)$ .

$\frac{1 + {\sin (x)}^{2} + 2 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Bước 3.6.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Bước 3.6.5.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Bước 3.6.5.3

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 \sin (x) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (x)$

Bước 3.6.5.4

Viết lại đa thức này.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Bước 3.6.5.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = 1$ và $b = \sin (x)$ .

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Bước 3.7

Triệt tiêu thừa số chung của ${(1 + \sin (x))}^{2}$ và $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x) + 1}$

Bước 4

Triệt tiêu thừa số chung $1 + \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Bước 4.2

Viết lại biểu thức.

$1$

Bước 5

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1} = 1$ là một đẳng thức