Lượng giác Ví dụ

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} = - 2 \csc (x) \cot (x)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1}$

Bước 2

Cộng các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để viết $\frac{1}{\cos (x) + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1}$ .

$\frac{1}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1}$

Bước 2.2

Để viết $\frac{1}{\cos (x) - 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

Bước 2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $\frac{1}{\cos (x) + 1}$ với $\frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1}$ .

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{1}{\cos (x) - 1} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

Bước 2.3.2

Nhân $\frac{1}{\cos (x) - 1}$ với $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ .

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{\cos (x) + 1}{(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)$ .

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{\cos (x) + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\cos (x) - 1 + \cos (x) + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Bước 3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cộng $\cos (x)$ và $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) - 1 + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Bước 3.2

Cộng $- 1$ và $1$ .

$\frac{2 \cos (x) + 0}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Bước 3.3

Cộng $2 \cos (x)$ và $0$ .

$\frac{2 \cos (x)}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

Bước 4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Khai triển $(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) (\cos (x) - 1) + 1 (\cos (x) - 1)}$

Bước 4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 + 1 (\cos (x) - 1)}$

Bước 4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1}$

Bước 4.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) - 1}$

Bước 5

Áp dụng đẳng thức Pytago.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại $\cos^{2} (x)$ và $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 + \cos^{2} (x)}$

Bước 5.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}$

Bước 5.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}$

Bước 5.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}$

Bước 5.5

Viết lại $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ ở dạng $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x)}{- (1 - \cos^{2} (x))}$

Bước 5.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{2 \cos (x)}{- \sin^{2} (x)}$

Bước 6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 7

Viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8

Kết hợp.

$\frac{- (2 \cos (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

Bước 9

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

Bước 10

Nhân ${\sin (x)}^{2}$ với $1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 12

Bây giờ hãy xét vế phải của phương trình.

$- 2 \csc (x) \cot (x)$

Bước 13

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (x)$ .

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)$

Bước 13.2

Viết $\cot (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 14.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 14.3

Nhân $- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Nhân $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ với $\frac{2}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x) \sin (x)}$

Bước 14.3.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Bước 14.3.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Bước 14.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Bước 14.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 14.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (x)$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 15

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} = - 2 \csc (x) \cot (x)$ là một đẳng thức