Lượng giác Ví dụ

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x)) = 2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Bước 2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$(1^{2} - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Bước 2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \cos (x)$ .

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Bước 3

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) (1 + 1 - \sin^{2} (x))$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Khai triển $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Bước 4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Bước 4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Bước 4.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$(1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Bước 4.2.1.2

Nhân $- \cos (x)$ với $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Bước 4.2.1.3

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Bước 4.2.1.4

Nhân $\cos (x) (- \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.4.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Bước 4.2.1.4.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Bước 4.2.1.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Bước 4.2.1.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Bước 4.2.2

Cộng $- \cos (x)$ và $\cos (x)$ .

$(1 + 0 - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Bước 4.2.3

Cộng $1$ và $0$ .

$(1 - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Bước 4.3

Cộng $1$ và $1$ .

$(1 - {\cos (x)}^{2}) (2 - {\sin (x)}^{2})$

Bước 4.4

Khai triển $(1 - {\cos (x)}^{2}) (2 - {\sin (x)}^{2})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 (2 - {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} (2 - {\sin (x)}^{2})$

Bước 4.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot 2 + 1 (- {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} (2 - {\sin (x)}^{2})$

Bước 4.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot 2 + 1 (- {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} \cdot 2 - {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})$

Bước 4.5

Rút gọn mỗi số hạng.

$2 - \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Bước 5.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 (1) - 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Bước 5.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Bước 5.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Bước 5.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$2 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Bước 5.6

Đưa $\sin^{2} (x)$ ra ngoài $2 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đưa $\sin^{2} (x)$ ra ngoài $2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 2 - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Bước 5.6.2

Đưa $\sin^{2} (x)$ ra ngoài $- \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Bước 5.6.3

Đưa $\sin^{2} (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Bước 5.6.4

Đưa $\sin^{2} (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1$ .

$\sin^{2} (x) \cdot (2 - 1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Bước 5.6.5

Đưa $\sin^{2} (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x) \cdot (2 - 1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 + \cos^{2} (x))$

Bước 5.7

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Bước 5.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Bước 5.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Bước 5.10

Viết lại $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ ở dạng $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\sin^{2} (x) (2 - (1 - \cos^{2} (x)))$

Bước 5.11

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\sin^{2} (x) (2 - \sin^{2} (x))$

Bước 5.12

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

Bước 5.13

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sin^{2} (x)$ .

$2 \cdot \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

Bước 5.14

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \cdot \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Bước 5.15

Nhân $\sin^{2} (x)$ với $\sin^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.15.1

Di chuyển $\sin^{2} (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))$

Bước 5.15.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \sin^{2} (x) - {\sin (x)}^{2 + 2}$

Bước 5.15.3

Cộng $2$ và $2$ .

$2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

Bước 6

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x)) = 2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$ là một đẳng thức