Lượng giác Ví dụ

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

Bước 2.1.2

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

Bước 2.2.2

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Bước 2.3

Khai triển $(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Bước 2.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Bước 2.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Bước 2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $\frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ và $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Bước 2.4.2

Cộng $- \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ và $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + 0 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Bước 2.4.3

Cộng $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ và $0$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Bước 2.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Nhân $\frac{1}{\sin (x)}$ với $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Bước 2.5.1.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Bước 2.5.1.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Bước 2.5.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Bước 2.5.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

Bước 2.5.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Bước 2.5.3

Nhân $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Nhân $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ với $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Bước 2.5.3.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Bước 2.5.3.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Bước 2.5.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Bước 2.5.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Bước 2.5.3.6

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

Bước 2.5.3.7

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \tan^{2} (x)$

Bước 2.5.3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \tan^{2} (x)$

Bước 2.5.3.9

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

Bước 2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

Bước 2.7

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

Bước 2.8

Triệt tiêu thừa số chung $\sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

Bước 2.8.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \tan^{2} (x)$

Bước 2.9

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$1 + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Bước 2.10

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 4.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \cos (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 4.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{{\cos (x)}^{2} + (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 4.4

Rút gọn tử số.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Bước 5

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ là một đẳng thức