Lượng giác Ví dụ

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1} = \frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1}$

Bước 2

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (x)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{\cot^{2} (x) - 1}$

Bước 2.2

Viết $\cot (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

Bước 2.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - 1}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1}$

Bước 3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1}$

Bước 3.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ ở dạng ${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

Bước 3.3.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1^{2}}$

Bước 3.3.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ và $b = 1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

Bước 3.3.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

Bước 3.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

Bước 3.3.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)})}$

Bước 3.3.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{\sin (x)})}$

Bước 3.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x)}}$

Bước 3.4

Nhân $\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)}$ với $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\sin (x) \sin (x)}}$

Bước 3.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}}$

Bước 3.5.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}}$

Bước 3.5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1 + 1}}}$

Bước 3.5.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

Bước 3.6

Kết hợp.

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

Bước 3.7

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

Bước 3.8

Kết hợp ${\sin (x)}^{2}$ và $\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}{{\sin (x)}^{2}}}$

Bước 3.9

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

$\frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Bước 4

Viết lại $\frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$ ở dạng $\frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Bước 5

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1} = \frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$ là một đẳng thức