Lượng giác Ví dụ

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x) = - \csc (x)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x)$

Bước 2

Vì $\cot (- x)$ là một hàm lẻ, nên viết lại $\cot (- x)$ ở dạng $- \cot (x)$ .

$- \cot (x) \cos (- x) + \sin (- x)$

Bước 3

Vì $\cos (- x)$ là một hàm chẵn, nên viết lại $\cos (- x)$ ở dạng $\cos (x)$ .

$- \cot (x) \cos (x) + \sin (- x)$

Bước 4

Vì $\sin (- x)$ là một hàm lẻ, nên viết lại $\sin (- x)$ ở dạng $- \sin (x)$ .

$- \cot (x) \cos (x) - \sin (x)$

Bước 5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) - \sin (x)$

Bước 5.2

Nhân $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $\cos (x)$ và $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Bước 5.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Bước 5.2.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Bước 5.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (x)$

Bước 5.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Bước 6

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$- \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} - \sin (x)$

Bước 7.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \sin (x)$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} - \sin (x)$

Bước 7.2

Để viết $- \sin (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} - \sin (x) \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.3

Kết hợp $- \sin (x)$ và $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) - \sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Bước 7.5.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - (\sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.5.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - (\sin (x) \sin (x))$ .

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.5.2

Khai triển $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- (1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.5.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.5.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.5.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.3.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{- (1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.5.3.1.2

Nhân $- \sin (x)$ với $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.5.3.1.3

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.5.3.1.4

Nhân $\sin (x) (- \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.3.1.4.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.5.3.1.4.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.5.3.1.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.5.3.1.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.5.3.2

Cộng $- \sin (x)$ và $\sin (x)$ .

$\frac{- (1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.5.3.3

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.5.4

Nhân $\sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.4.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} \sin (x))}{\sin (x)}$

Bước 7.5.4.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})}{\sin (x)}$

Bước 7.5.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1 + 1})}{\sin (x)}$

Bước 7.5.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{\sin (x)}$

Bước 7.5.5

Cộng $- {\sin (x)}^{2}$ và ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{- (1 + 0)}{\sin (x)}$

Bước 7.5.6

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (x)}$

Bước 7.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

Bước 7.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 8

Viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 9

Kết hợp.

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 \sin (x)}$

Bước 10

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 1}{1 \sin (x)}$

Bước 11

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

Bước 12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 13

Bây giờ hãy xét vế phải của phương trình.

$- \csc (x)$

Bước 14

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (x)$ .

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 15

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x) = - \csc (x)$ là một đẳng thức