Lượng giác Ví dụ

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b) = \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b)$

Bước 2

Áp dụng đẳng thức cộng của góc $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot \cos (a - b)$

Bước 3

Áp dụng đẳng thức cộng của góc $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (- b) - \sin (a) \sin (- b))$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Vì $\cos (- b)$ là một hàm chẵn, nên viết lại $\cos (- b)$ ở dạng $\cos (b)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (- b))$

Bước 4.1.2

Vì $\sin (- b)$ là một hàm lẻ, nên viết lại $\sin (- b)$ ở dạng $- \sin (b)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) (- \sin (b)))$

Bước 4.1.3

Nhân $- \sin (a) (- \sin (b))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) + 1 \sin (a) \sin (b))$

Bước 4.1.3.2

Nhân $\sin (a)$ với $1$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

Bước 4.2

Khai triển $(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

Bước 4.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

Bước 4.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $\cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b))$ và $- \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b))$ .

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Bước 4.3.2

Trừ $\cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b)$ khỏi $\cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b)$ .

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + 0 - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Bước 4.3.3

Cộng $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b))$ và $0$ .

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Bước 4.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1

Nâng $\cos (a)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Bước 4.4.1.2

Nâng $\cos (a)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos^{1} (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Bước 4.4.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\cos (a)}^{1 + 1} \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Bước 4.4.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Bước 4.4.1.5

Nâng $\cos (b)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (a) (\cos^{1} (b) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Bước 4.4.1.6

Nâng $\cos (b)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (a) (\cos^{1} (b) \cos^{1} (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Bước 4.4.1.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos^{2} (a) {\cos (b)}^{1 + 1} - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Bước 4.4.1.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Bước 4.4.2

Nhân $- \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Nâng $\sin (a)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - (\sin^{1} (a) \sin (a)) \sin (b) \sin (b)$

Bước 4.4.2.2

Nâng $\sin (a)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - (\sin^{1} (a) \sin^{1} (a)) \sin (b) \sin (b)$

Bước 4.4.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - {\sin (a)}^{1 + 1} \sin (b) \sin (b)$

Bước 4.4.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin (b) \sin (b)$

Bước 4.4.2.5

Nâng $\sin (b)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{1} (b) \sin (b))$

Bước 4.4.2.6

Nâng $\sin (b)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{1} (b) \sin^{1} (b))$

Bước 4.4.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) {\sin (b)}^{1 + 1}$

Bước 4.4.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Bước 5

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$(1 - \sin^{2} (a)) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Bước 6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Bước 7

Nhân ${\cos (b)}^{2}$ với $1$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Bước 8

Áp dụng đẳng thức Pytago.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đưa $- \sin^{2} (a)$ ra ngoài $- \sin^{2} (a) \cos^{2} (b)$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Bước 8.2

Đưa $- \sin^{2} (a)$ ra ngoài $- \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b))$

Bước 8.3

Đưa $- \sin^{2} (a)$ ra ngoài $- \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b))$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b) + \sin^{2} (b))$

Bước 8.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b) + \cos^{2} (b))$

Bước 8.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cdot 1$

Bước 9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$

Bước 10

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b) = \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$ là một đẳng thức