Lượng giác Ví dụ

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1) = 2 \sec (x) + 5 \sin (x)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1)$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2) (2 \tan (x) + 1)$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

Bước 2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

Bước 2.3.2

Viết lại biểu thức.

$(\sin (x) + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

Bước 2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (x)$ .

$(\sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) (2 \tan (x) + 1)$

Bước 2.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$(\sin (x) + 2 \cos (x)) (2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Bước 2.5.2

Kết hợp $2$ và $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\sin (x) + 2 \cos (x)) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Bước 2.6

Khai triển $(\sin (x) + 2 \cos (x)) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1) + 2 \cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Bước 2.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

Bước 2.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Bước 2.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1

Nhân $\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1.1

Kết hợp $\sin (x)$ và $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (2 \sin (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Bước 2.7.1.1.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Bước 2.7.1.1.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Bước 2.7.1.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Bước 2.7.1.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Bước 2.7.1.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Bước 2.7.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.3.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $2 \cos (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Bước 2.7.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

Bước 2.7.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 2 (2 \sin (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1$

Bước 2.7.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 4 \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$

Bước 2.7.1.5

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 4 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Bước 2.7.2

Cộng $\sin (x)$ và $4 \sin (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Bước 3

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{2 (1^{2} - {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Bước 4.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Bước 4.2

Để viết $5 \sin (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Bước 4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Bước 4.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Bước 4.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{(2 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Bước 4.4.3

Khai triển $(2 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (1 - \cos (x)) + 2 \cos (x) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Bước 4.4.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Bước 4.4.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Bước 4.4.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.1.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Bước 4.4.4.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Bước 4.4.4.1.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Bước 4.4.4.1.4

Nhân $2 \cos (x) (- \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.1.4.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \cos (x) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Bước 4.4.4.1.4.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 ({\cos (x)}^{1} \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Bước 4.4.4.1.4.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Bước 4.4.4.1.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Bước 4.4.4.1.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Bước 4.4.4.2

Cộng $- 2 \cos (x)$ và $2 \cos (x)$ .

$\frac{2 + 0 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Bước 4.4.4.3

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

Bước 4.5

Để viết $2 \cos (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

$\frac{2 + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Bước 5

Bây giờ hãy xét vế phải của phương trình.

$2 \sec (x) + 5 \sin (x)$

Bước 6

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\sec (x)$ .

$2 \frac{1}{\cos (x)} + 5 \sin (x)$

Bước 7

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + 5 \sin (x)$

Bước 8

Viết $5 \sin (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{1}$

Bước 9

Cộng các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Để viết $\frac{5 \sin (x)}{1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Bước 9.2

Nhân $\frac{5 \sin (x)}{1}$ với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Bước 9.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Bước 10

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1) = 2 \sec (x) + 5 \sin (x)$ là một đẳng thức