Lượng giác Ví dụ

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x) = \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\sec^{4} (x)$ ở dạng ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - \tan^{4} (x)$

Bước 2.2

Viết lại $\tan^{4} (x)$ ở dạng ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2}$

Bước 2.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \sec^{2} (x)$ và $b = \tan^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Bước 2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Bước 2.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Bước 2.4.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Bước 2.4.4

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Bước 2.4.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Bước 2.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cdot 1$

Bước 2.6

Nhân $\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ với $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3

Bây giờ hãy xét vế phải của phương trình.

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Bước 4

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)$

Bước 4.2

Viết $\tan (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Bước 4.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Bước 4.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 6

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x) = \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ là một đẳng thức