Lượng giác Ví dụ

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

Bước 2

Trừ các phân số cho nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để viết $\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

Bước 2.2

Để viết $- \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Bước 2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ với $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Bước 2.3.2

Nhân $\frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ với $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 3.1.2

Nhân $\csc (x)$ với $1$ .

$\frac{\csc (x) + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 3.1.3

Nhân $\csc (x) (- \csc (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 3.1.3.2

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1}) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 3.1.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 3.1.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 3.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) \cdot 1 - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 3.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 3.1.6

Nhân $- \csc (x) \csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.6.1

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 3.1.6.2

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1})}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 3.1.6.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 3.1.6.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 3.2

Trừ $\csc (x)$ khỏi $\csc (x)$ .

$\frac{- {\csc (x)}^{2} + 0 - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 3.3

Cộng $- {\csc (x)}^{2}$ và $0$ .

$\frac{- {\csc (x)}^{2} - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 3.4

Trừ ${\csc (x)}^{2}$ khỏi $- {\csc (x)}^{2}$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Khai triển $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 (1 - \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

Bước 4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

Bước 4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x))}$

Bước 4.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 - \csc^{2} (x)}$

Bước 5

Áp dụng đẳng thức Pytago.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại $1$ và $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

Bước 5.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

Bước 5.3

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Bước 5.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

Bước 5.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Bước 6

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (x)$ .

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \cot^{2} (x)}$

Bước 6.2

Viết $\cot (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Bước 6.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Bước 6.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- 2 \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 7.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 2 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 7.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 7.4

Triệt tiêu thừa số chung ${\sin (x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ vào tử số.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 7.4.2

Đưa ${\sin (x)}^{2}$ ra ngoài $- {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 7.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 7.4.4

Viết lại biểu thức.

$- 2 \frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 7.5

Kết hợp $- 2$ và $\frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 7.6

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8

Viết lại $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ ở dạng $2 \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x)$

Bước 9

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$ là một đẳng thức