Lượng giác Ví dụ

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x) = \cos^{2} (2 x)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Bước 2

Đưa $\cos^{2} (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với $1$ .

$\cos^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Bước 2.2

Đưa $\cos^{2} (x)$ ra ngoài $- 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Bước 2.3

Đưa $\cos^{2} (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$\cos^{2} (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Bước 3

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$(1 - \sin^{2} (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Khai triển $(1 - {\sin (x)}^{2}) (1 - 2 {\sin (x)}^{2})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Bước 4.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot 1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Bước 4.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot 1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Bước 4.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Bước 4.1.2.1.2

Nhân $- 2 {\sin (x)}^{2}$ với $1$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Bước 4.1.2.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Bước 4.1.2.1.4

Nhân ${\sin (x)}^{2}$ với ${\sin (x)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.4.1

Di chuyển ${\sin (x)}^{2}$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}) \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Bước 4.1.2.1.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2 + 2} \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Bước 4.1.2.1.4.3

Cộng $2$ và $2$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{4} \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Bước 4.1.2.1.5

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Bước 4.1.2.2

Trừ ${\sin (x)}^{2}$ khỏi $- 2 {\sin (x)}^{2}$ .

$1 - 3 {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Bước 4.2

Trừ ${\sin (x)}^{2}$ khỏi $- 3 {\sin (x)}^{2}$ .

$1 + 2 {\sin (x)}^{4} - 4 {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Bước 4.3

Cộng $2 {\sin (x)}^{4}$ và $2 {\sin (x)}^{4}$ .

$1 + 4 \sin^{4} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

Bước 5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$1 - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Bước 5.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$1^{2} - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Bước 5.3

Viết lại $4 \sin^{4} (x)$ ở dạng ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ .

$1^{2} - 4 \sin^{2} (x) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Bước 5.4

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$4 \sin^{2} (x) = 2 \cdot 1 \cdot (2 \sin^{2} (x))$

Bước 5.5

Viết lại đa thức này.

$1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot (2 \sin^{2} (x)) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Bước 5.6

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = 1$ và $b = 2 \sin^{2} (x)$ .

${(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Bước 6

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho cosin.

$\cos^{2} (2 x)$

Bước 7

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x) = \cos^{2} (2 x)$ là một đẳng thức