Lượng giác Ví dụ

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$

Bước 2

Nhân $\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$ với $\frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$ .

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} \cdot \frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$

Bước 3

Kết hợp.

$\frac{\cot (A) (- \csc (A) + 1)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Bước 4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A) \cdot 1}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Bước 4.2

Nhân $\cot (A)$ với $1$ .

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Bước 5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Khai triển $(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A) + 1) + 1 (- \csc (A) + 1)}$

Bước 5.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A) + 1)}$

Bước 5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A)) + 1 \cdot 1}$

Bước 5.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) + 1}$

Bước 6

Áp dụng đẳng thức Pytago.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \csc^{2} (A)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A)) + 1}$

Bước 6.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1}$

Bước 6.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A) - 1)}$

Bước 6.4

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Bước 7

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết $\cot (A)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Bước 7.2

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (A)$ .

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Bước 7.3

Viết $\cot (A)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \cot^{2} (A)}$

Bước 7.4

Viết $\cot (A)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}}$

Bước 7.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Bước 8.2

Nhân $- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $\frac{1}{\sin (A)}$ với $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A) \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Bước 8.2.2

Nâng $\sin (A)$ lên lũy thừa $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Bước 8.2.3

Nâng $\sin (A)$ lên lũy thừa $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Bước 8.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Bước 8.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Bước 8.3

Để viết $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Bước 8.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là ${\sin (A)}^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Nhân $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ với $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{\sin (A) \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Bước 8.4.2

Nâng $\sin (A)$ lên lũy thừa $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Bước 8.4.3

Nâng $\sin (A)$ lên lũy thừa $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Bước 8.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Bước 8.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Bước 8.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Bước 8.6

Đưa $\cos (A)$ ra ngoài $- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Đưa $\cos (A)$ ra ngoài $- \cos (A)$ .

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Bước 8.6.2

Đưa $\cos (A)$ ra ngoài $\cos (A) \sin (A)$ .

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Bước 8.6.3

Đưa $\cos (A)$ ra ngoài $\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))$ .

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Bước 8.7

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (A)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$ vào tử số.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$

Bước 8.7.2

Đưa $\cos (A)$ ra ngoài ${\cos (A)}^{2}$ .

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

Bước 8.7.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

Bước 8.7.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A)}$

Bước 8.8

Triệt tiêu thừa số chung ${\sin (A)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.1

Đưa ${\sin (A)}^{2}$ ra ngoài $- {\sin (A)}^{2}$ .

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

Bước 8.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

Bước 8.8.3

Viết lại biểu thức.

$(- 1 + \sin (A)) \frac{- 1}{\cos (A)}$

Bước 8.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(- 1 + \sin (A)) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Bước 8.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 1 (- \frac{1}{\cos (A)}) + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Bước 8.11

Nhân $- 1 (- \frac{1}{\cos (A)})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.11.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Bước 8.11.2

Nhân $\frac{1}{\cos (A)}$ với $1$ .

$\frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Bước 8.12

Kết hợp $\sin (A)$ và $\frac{1}{\cos (A)}$ .

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Bước 9

Bây giờ hãy xét vế phải của phương trình.

$\sec (A) - \tan (A)$

Bước 10

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\sec (A)$ .

$\frac{1}{\cos (A)} - \tan (A)$

Bước 10.2

Viết $\tan (A)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Bước 11

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$ là một đẳng thức