Lượng giác Ví dụ

$\frac{\cot (A) - \tan (A)}{\cot (A) + \tan (A)} = \cos (2 A)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\frac{\cot (A) - \tan (A)}{\cot (A) + \tan (A)}$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại $\cot (A)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \tan (A)}{\cot (A) + \tan (A)}$

Bước 2.1.2

Viết lại $\tan (A)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}{\cot (A) + \tan (A)}$

Bước 2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $\cot (A)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \tan (A)}$

Bước 2.2.2

Viết lại $\tan (A)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sin (A) \cos (A)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $\frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$ với $\frac{\sin (A) \cos (A)}{\sin (A) \cos (A)}$ .

$\frac{\sin (A) \cos (A)}{\sin (A) \cos (A)} \cdot \frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.3.2

Kết hợp.

$\frac{\sin (A) \cos (A) (\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) (\frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}$

Bước 2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5

Rút gọn bằng cách triệt tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (A)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Đưa $\sin (A)$ ra ngoài $\sin (A) \cos (A)$ .

$\frac{\sin (A) (\cos (A)) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos (A) \cos (A) + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.2

Nâng $\cos (A)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{1} (A) \cos (A) + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.3

Nâng $\cos (A)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{1} (A) \cos^{1} (A) + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{\cos (A)}^{1 + 1} + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.6

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (A)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ vào tử số.

$\frac{\cos^{2} (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{- \sin (A)}{\cos (A)}}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.6.2

Đưa $\cos (A)$ ra ngoài $\sin (A) \cos (A)$ .

$\frac{\cos^{2} (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{- \sin (A)}{\cos (A)}}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos^{2} (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{- \sin (A)}{\cos (A)}}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.6.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos^{2} (A) + \sin (A) (- \sin (A))}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.7

Nâng $\sin (A)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - (\sin^{1} (A) \sin (A))}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.8

Nâng $\sin (A)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - (\sin^{1} (A) \sin^{1} (A))}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\cos^{2} (A) - {\sin (A)}^{1 + 1}}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.10

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.11

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (A)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.11.1

Đưa $\sin (A)$ ra ngoài $\sin (A) \cos (A)$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\sin (A) (\cos (A)) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.11.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos (A) \cos (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.12

Nâng $\cos (A)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{1} (A) \cos (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.13

Nâng $\cos (A)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{1} (A) \cos^{1} (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{{\cos (A)}^{1 + 1} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.15

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.16

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (A)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.16.1

Đưa $\cos (A)$ ra ngoài $\sin (A) \cos (A)$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.16.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

Bước 2.5.16.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \sin (A) \sin (A)}$

Bước 2.5.17

Nâng $\sin (A)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \sin^{1} (A) \sin (A)}$

Bước 2.5.18

Nâng $\sin (A)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \sin^{1} (A) \sin^{1} (A)}$

Bước 2.5.19

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + {\sin (A)}^{1 + 1}}$

Bước 2.5.20

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \sin^{2} (A)}$

Bước 2.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\sin^{2} (A) + \cos^{2} (A)}$

Bước 2.7

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{1}$

Bước 2.8

Chia $\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)$ cho $1$ .

$\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)$

Bước 2.9

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho cosin.

$\cos (2 A)$

Bước 3

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{\cot (A) - \tan (A)}{\cot (A) + \tan (A)} = \cos (2 A)$ là một đẳng thức