Lượng giác Ví dụ

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$

Bước 2

Nhân $\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$ với $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ .

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$

Bước 3

Kết hợp.

$\frac{\cot (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cot (x) \cdot 1 + \cot (x) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 4.2

Nhân $\cot (x)$ với $1$ .

$\frac{\cot (x) + \cot (x) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\cot (x) + \cot (x) (- \csc (x))$ .

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Bước 5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Khai triển $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 (1 - \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

Bước 5.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

Bước 5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x))}$

Bước 5.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 - \csc^{2} (x)}$

Bước 6

Áp dụng đẳng thức Pytago.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại $1$ và $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

Bước 6.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

Bước 6.3

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Bước 6.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

Bước 6.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Bước 7

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết $\cot (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cot (x) \csc (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Bước 7.2

Viết $\cot (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Bước 7.3

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{- \cot^{2} (x)}$

Bước 7.4

Viết $\cot (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Bước 7.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 8.2

Nhân $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $\frac{1}{\sin (x)}$ với $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 8.2.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 8.2.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 8.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 8.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 8.3

Để viết $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 8.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là ${\sin (x)}^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Nhân $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ với $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 8.4.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 8.4.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 8.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 8.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 8.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 8.6

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos (x) \sin (x) - \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x)) - \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 8.6.2

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $- \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 8.6.3

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos (x) (\sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Bước 8.7

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ vào tử số.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 8.7.2

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

Bước 8.7.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

Bước 8.7.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sin (x) - 1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x)}$

Bước 8.8

Triệt tiêu thừa số chung ${\sin (x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.1

Đưa ${\sin (x)}^{2}$ ra ngoài $- {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) - 1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

Bước 8.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (x) - 1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

Bước 8.8.3

Viết lại biểu thức.

$(\sin (x) - 1) \frac{- 1}{\cos (x)}$

Bước 8.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(\sin (x) - 1) (- \frac{1}{\cos (x)})$

Bước 8.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$

Bước 8.11

Kết hợp $\sin (x)$ và $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$

Bước 8.12

Nhân $- 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \sin (x) + 1}{\cos (x)}$

Bước 10

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 11

Bây giờ hãy xét vế phải của phương trình.

$\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Bước 12

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\cot (x)}$

Bước 12.2

Viết $\cot (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$(\frac{1}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 13.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 13.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 13.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 13.4

Viết lại $- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ở dạng $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 15

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$ là một đẳng thức