Lượng giác Ví dụ

$\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)} = \sec^{2} (t) - \csc^{2} (t)$

Bước 1

Bắt đầu ở phía bên phải.

$\sec^{2} (t) - \csc^{2} (t)$

Bước 2

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\sec (t)$ .

${(\frac{1}{\cos (t)})}^{2} - \csc^{2} (t)$

Bước 2.2

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (t)$ .

${(\frac{1}{\cos (t)})}^{2} - {(\frac{1}{\sin (t)})}^{2}$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (t)} - {(\frac{1}{\sin (t)})}^{2}$

Bước 2.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (t)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (t)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (t)}$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)}$

Bước 4

Trừ các phân số cho nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để viết $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)}$

Bước 4.2

Để viết $- \frac{1}{\sin^{2} (t)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Bước 4.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ với $\frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ .

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Bước 4.3.2

Nhân $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ với $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)} - \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t) \cos^{2} (t)}$

Bước 4.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\sin^{2} (t) \cos^{2} (t)$ .

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)} - \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sin^{2} (t) - \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$

Bước 5

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \sin (t)$ và $b = \cos (t)$ .

$\frac{(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) - \cos (t))}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$

Bước 6

Viết lại $\frac{(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) - \cos (t))}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$ ở dạng $\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)}$ .

$\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)}$

Bước 7

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)} = \sec^{2} (t) - \csc^{2} (t)$ là một đẳng thức