Lượng giác Ví dụ

$\frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)} = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

Bước 1

Bắt đầu ở phía bên phải.

$\frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

Bước 2

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết $\tan (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

Bước 2.2

Viết $\tan (y)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

Bước 2.3

Viết $\tan (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (y)}$

Bước 2.4

Viết $\tan (y)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (x) \cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}$ với $\frac{\cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}$

Bước 3.1.2

Kết hợp.

$\frac{\cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\cos (x) \cos (y) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (x) \cos (y) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (y) (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

Bước 3.3

Rút gọn bằng cách triệt tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos (x) \cos (y)$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (y)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (y) (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

Bước 3.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 3.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) \cos (y) (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ vào tử số.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) \cos (y) \frac{- \sin (y)}{\cos (y)}}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

Bước 3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (y) \cos (x) \frac{- \sin (y)}{\cos (y)}}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

Bước 3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

Bước 3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $\cos (x) \cos (y)$ ra ngoài $\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Đưa $\cos (x) \cos (y)$ ra ngoài $\cos (x) \cos (y) \cdot 1$ .

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (1) + \cos (x) \cos (y) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}$

Bước 3.4.1.2

Đưa $\cos (x) \cos (y)$ ra ngoài $\cos (x) \cos (y) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (1) + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

Bước 3.4.1.3

Đưa $\cos (x) \cos (y)$ ra ngoài $\cos (x) \cos (y) (1) + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})$ .

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

Bước 3.4.2

Nhân $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ với $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (1 + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)})}$

Bước 3.4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (\frac{\cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)})}$

Bước 3.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) \frac{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}}$

Bước 3.4.5

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Kết hợp $\frac{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$ và $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x)}{\cos (x) \cos (y)} \cos (y)}$

Bước 3.4.5.2

Kết hợp $\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x)}{\cos (x) \cos (y)}$ và $\cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}}$

Bước 3.4.6

Rút gọn biểu thức $\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}}$

Bước 3.4.6.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (y)}{\cos (y)}}$

Bước 3.4.7

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (y)}{\cos (y)}}$

Bước 3.4.7.2

Chia $\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ cho $1$ .

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$ .

$\frac{\cos (y) \sin (x) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos (x) \sin (y)$ .

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) + \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

Bước 4.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $\cos (y) \sin (x)$ .

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

Bước 4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))$ .

$\frac{- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

Bước 4.4

Viết lại $- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ ở dạng $- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ .

$\frac{- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

Bước 4.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

Bước 5

Viết lại $- \frac{\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$ ở dạng $\frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

Bước 6

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)} = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$ là một đẳng thức