Lượng giác Ví dụ

$\frac{3}{\tan (67.5)}$

Bước 1

Tách các phân số.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\tan (67.5)}$

Bước 2

Viết lại $\tan (67.5)$ theo sin và cosin.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (67.5)}{\cos (67.5)}}$

Bước 3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (67.5)}{\cos (67.5)}$ .

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\cos (67.5)}{\sin (67.5)}$

Bước 4

Quy đổi từ $\frac{\cos (67.5)}{\sin (67.5)}$ sang $\cot (67.5)$ .

$\frac{3}{1} \cot (67.5)$

Bước 5

Chia $3$ cho $1$ .

$3 \cot (67.5)$

Bước 6

Giá trị chính xác của $\cot (67.5)$ là $\frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $67.5$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$3 \cot (\frac{135}{2})$

Bước 6.2

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo.

$3 \frac{1}{\tan (\frac{135}{2})}$

Bước 6.3

Áp dụng đẳng thức góc chia đôi cho tang.

$3 \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}}$

Bước 6.4

Thay đổi $+$ thành $\pm$ vì cotang dương trong góc phần tư thứ nhất.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}}$

Bước 6.5

Rút gọn $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (135)}}}$

Bước 6.5.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Bước 6.5.1.3

Nhân $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Bước 6.5.1.3.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Bước 6.5.1.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Bước 6.5.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Bước 6.5.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}}$

Bước 6.5.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Bước 6.5.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Bước 6.5.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}}$

Bước 6.5.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

Bước 6.5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

Bước 6.5.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}}$

Bước 6.5.3.3

Nhân $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ với $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}}$

Bước 6.5.3.4

Nhân $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ với $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}}$

Bước 6.5.3.5

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

Bước 6.5.3.6

Rút gọn.

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Bước 6.5.3.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Bước 6.5.3.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Bước 6.5.3.8.2

Viết lại biểu thức.

$3 \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Bước 6.5.3.9

Kết hợp $\sqrt{2}$ và $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Bước 6.5.3.10

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.10.1

Viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Bước 6.5.3.10.2

Nhân $\frac{2}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Bước 6.5.3.10.3

Nhân $\frac{2}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Bước 6.5.3.10.4

Viết $\sqrt{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Bước 6.5.3.10.5

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Bước 6.5.3.10.6

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Bước 6.5.3.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Bước 6.5.3.12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.12.1

Nhân $2$ với $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Bước 6.5.3.12.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Bước 6.5.3.12.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Bước 6.5.3.12.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Bước 6.5.3.12.5

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

Bước 6.5.3.12.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.12.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

Bước 6.5.3.12.6.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

Bước 6.5.3.12.6.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

Bước 6.5.3.13

Cộng $4$ và $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}}}$

Bước 6.5.3.14

Cộng $2 \sqrt{2}$ và $2 \sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Bước 6.5.3.15

Triệt tiêu thừa số chung của $6 + 4 \sqrt{2}$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.15.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Bước 6.5.3.15.2

Đưa $2$ ra ngoài $4 \sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}}}$

Bước 6.5.3.15.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Bước 6.5.3.15.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.15.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

Bước 6.5.3.15.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

Bước 6.5.3.15.4.3

Viết lại biểu thức.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}}$

Bước 6.5.3.15.4.4

Chia $3 + 2 \sqrt{2}$ cho $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Bước 7

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Dạng thập phân:

$1.24264068 \dots$