Lượng giác Ví dụ

$\cos^{2} (22.5)$

Bước 1

Giá trị chính xác của $\cos (22.5)$ là $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $22.5$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$\cos^{2} (\frac{45}{2})$

Bước 1.2

Áp dụng đẳng thức góc chia đôi của cosin $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

${(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})}^{2}$

Bước 1.3

Thay đổi $+$ thành $\pm$ vì cosin dương trong góc phần tư thứ nhất.

${\sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}}^{2}$

Bước 1.4

Giá trị chính xác của $\cos (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Bước 1.5

Rút gọn $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

${\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Bước 1.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

${\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Bước 1.5.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

${\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2}$

Bước 1.5.4

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

${\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2}$

Bước 1.5.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

${\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2}$

Bước 1.5.5

Viết lại $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

${(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2}$

Bước 1.5.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.6.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2}$

Bước 1.5.6.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

${(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

Bước 2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

Bước 3

Viết lại ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ ở dạng $2 + \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ ở dạng ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Bước 3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}}$

Bước 3.5

Rút gọn.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}}$

Bước 4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Dạng thập phân:

$0.85355339 \dots$